🧪📊🎩

Pruebas de Hipótesis T

✨30 años de aventuras estadísticas ✨

¿No conoces σ (desviación poblacional)? ¿Muestra pequeña o realista? ¡Llegaron las pruebas T! Aquí dominarás 4 tipos con 3 ejemplos detallados cada uno, fórmulas visuales, calculadora interactiva y guía de decisión.

🔬 1. Prueba T para una muestra

Comparas la media muestral (x̄) con un valor hipotético conocido (μ₀). Usas s (desviación estándar muestral) porque σ poblacional es desconocida.

✅ Supuestos: ① Variable continua ② Muestra aleatoria ③ Distribución normal (o n ≥ 30 por TLC) ④ σ desconocida

📐 Estadístico de prueba

t = x̄ − μ₀ s / √n

gl = n − 1 | x̄ = media muestral | μ₀ = media hipotética | s = desv. estándar muestral | n = tamaño de muestra

😴 1.1 ¿Los alumnos duermen menos de 8 h?

Unilateral izquierda · H₁: μ < μ₀ · α = 0.05

📌
H₀: μ = 8 h (duermen en promedio 8 h)
🎯
H₁: μ < 8 h (duermen menos)
📊
Datos: n = 25, x̄ = 7.2 h, s = 1.5 h, μ₀ = 8
🧮
Cálculo:
EE = s/√n = 1.5/√25 = 1.5/5 = 0.30
t = (7.2 − 8) / 0.30 = −0.8 / 0.30 = −2.667
📍
t crítico (gl=24, cola izq., α=0.05) = −1.711
Región de rechazo: t < −1.711
⚖️
−2.667 < −1.711 → RECHAZAR H₀

😪 Conclusión: Los alumnos duermen significativamente menos de 8 h. ¡Hora de apagar TikTok antes de medianoche!

🐈 1.2 ¿Los gatos de la colonia pesan diferente a 4.5 kg?

Bilateral · H₁: μ ≠ μ₀ · α = 0.05

📌
H₀: μ = 4.5 kg
🎯
H₁: μ ≠ 4.5 kg (cualquier diferencia)
📊
Datos: n = 16, x̄ = 4.8 kg, s = 0.6 kg, μ₀ = 4.5
🧮
Cálculo:
EE = 0.6 / √16 = 0.6 / 4 = 0.150
t = (4.8 − 4.5) / 0.150 = 0.3 / 0.150 = 2.000
📍
t crítico (gl=15, bilateral, α=0.05) = ±2.131
Región de rechazo: |t| > 2.131
⚖️
|2.000| = 2.000 < 2.131 → NO rechazar H₀

🐱 Conclusión: Sin evidencia de diferencia significativa. ¡Los michis están en el promedio esperado!

🔋 1.3 ¿Los coches eléctricos superan 300 km de autonomía?

Unilateral derecha · H₁: μ > μ₀ · α = 0.05

📌
H₀: μ = 300 km
🎯
H₁: μ > 300 km
📊
Datos: n = 10, x̄ = 310 km, s = 18 km, μ₀ = 300
🧮
Cálculo:
EE = 18 / √10 = 18 / 3.1623 = 5.692
t = (310 − 300) / 5.692 = 10 / 5.692 = 1.757
📍
t crítico (gl=9, cola der., α=0.05) = 1.833
Región de rechazo: t > 1.833
⚖️
1.757 < 1.833 → NO rechazar H₀ (muy cerca)

🚗🔋 Conclusión: No superan los 300 km de forma significativa. ¡Casi! Con n mayor podría cambiar el resultado.

👥 2. T para dos muestras independientes

¿Dos grupos distintos e independientes tienen medias diferentes? Usamos varianza combinada (pooled) asumiendo varianzas iguales.

✅ Supuestos: ① Grupos independientes ② Normalidad en cada grupo ③ Varianzas iguales (homocedasticidad; verifica con Levene) ④ σ desconocidas

📐 Paso 1 — Varianza combinada (pooled)

s²ₚ = (n₁ − 1)·s²₁ + (n₂ − 1)·s²₂ n₁ + n₂ − 2

📐 Paso 2 — Estadístico t

t = x̄₁ − x̄₂ sₚ · √(1/n₁ + 1/n₂)

gl = n₁ + n₂ − 2 | sₚ = √s²ₚ (desv. estándar combinada)

🎼🤘 2.1 Clásica vs Metal: ¿influye en el CI?

Unilateral derecha · H₁: μ₁ > μ₂ · α = 0.05

📌
H₀: μ_clásica = μ_metal (ninguna diferencia)
🎯
H₁: μ_clásica > μ_metal
📊
Clásica: n₁=12, x̄₁=115, s₁=10
Metal: n₂=12, x̄₂=108, s₂=12
🧮
s²ₚ = (11·100 + 11·144) / 22 = (1100+1584)/22 = 2684/22 = 122
sₚ = √122 ≈ 11.045
EE = 11.045 · √(1/12+1/12) = 11.045 · √(0.1667) = 11.045 · 0.4082 = 4.508
t = (115 − 108) / 4.508 = 7 / 4.508 = 1.553
📍
t crítico (gl=22, cola der., α=0.05) = 1.717
⚖️
1.553 < 1.717 → NO rechazar H₀

🎸🧠 No hay diferencia significativa. ¡Metaleros y amantes del Mozart: igual de brillantes!

🏋️ 2.2 Suplemento de proteína vs control: ¿más fuerza?

Bilateral · H₁: μ₁ ≠ μ₂ · α = 0.05

📌
H₀: μ_proteína = μ_control
🎯
H₁: μ_proteína ≠ μ_control
📊
Proteína: n₁=10, x̄₁=85 kg, s₁=8
Control: n₂=10, x̄₂=78 kg, s₂=7
🧮
s²ₚ = (9·64 + 9·49) / 18 = (576+441)/18 = 1017/18 = 56.5
sₚ = √56.5 ≈ 7.517
EE = 7.517 · √(1/10+1/10) = 7.517 · √0.2 = 7.517 · 0.4472 = 3.362
t = (85 − 78) / 3.362 = 7 / 3.362 = 2.082
📍
t crítico (gl=18, bilateral, α=0.05) = ±2.101
⚖️
|2.082| < 2.101 → NO rechazar H₀ (¡casi!)

💪 La diferencia no es estadísticamente significativa, aunque es prácticamente relevante (7 kg más). Probar con n mayor.

🎮 2.3 Gamers vs no-gamers: ¿reflejos más rápidos?

Unilateral izquierda · H₁: μ_g < μ_ng · α = 0.05

📌
H₀: μ_gamers = μ_no gamers
🎯
H₁: μ_gamers < μ_no gamers (menor tiempo = mayor velocidad)
📊
Gamers: n₁=15, x̄₁=0.220 s, s₁=0.040
No gamers: n₂=15, x̄₂=0.260 s, s₂=0.050
🧮
s²ₚ = (14·0.0016 + 14·0.0025) / 28 = (0.0224+0.035)/28 = 0.0574/28 = 0.002050
sₚ = √0.002050 ≈ 0.04528
EE = 0.04528 · √(2/15) = 0.04528 · 0.3651 = 0.01654
t = (0.220 − 0.260) / 0.01654 = −0.040 / 0.01654 = −2.419
📍
t crítico (gl=28, cola izq., α=0.05) = −1.701
⚖️
−2.419 < −1.701 → RECHAZAR H₀

🕹️✨ Los gamers tienen tiempos de reacción significativamente menores. ¡Lleva tu mando al siguiente nivel!

🔄 3. Prueba T para muestras pareadas (medidas repetidas)

Los mismos sujetos son medidos en dos condiciones/momentos. Eliminamos la variabilidad entre sujetos calculando las diferencias d = x_antes − x_después (o al revés según H₁).

✅ Supuestos: ① Mismos sujetos (o pares naturales) en ambas condiciones ② Las diferencias d siguen distribución normal ③ Escala continua

📐 Paso 1 — Diferencias individuales

     dᵢ = x_antes,ᵢ − x_después,ᵢ
    

📐 Paso 2 — Estadístico t

t = d̄ s_d / √n

gl = n − 1 | d̄ = media de diferencias | s_d = desv. estándar de diferencias | n = nº de pares

📊 3.1 ¿El curso reduce el miedo a la estadística?

Unilateral derecha · H₁: μ_d > 0 · α = 0.05

📌
H₀: μ_d = 0 (sin cambio)
🎯
H₁: μ_d > 0 (antes > después, es decir, disminuye la ansiedad)
📊
n = 8 pares
Diferencias d (antes−después): 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 3
d̄ = (3+3+3+1+1+1+2+3)/8 = 17/8 = 2.125
🧮
Variaciones: (3−2.125)²=0.766, (3−2.125)²=0.766, (3−2.125)²=0.766,
(1−2.125)²=1.266, (1−2.125)²=1.266, (1−2.125)²=1.266,
(2−2.125)²=0.016, (3−2.125)²=0.766
s²_d = Σ(dᵢ−d̄)² / (n−1) = 6.878 / 7 = 0.9826 → s_d ≈ 0.991
EE = 0.991 / √8 = 0.991 / 2.828 = 0.3505
t = 2.125 / 0.3505 = 6.062
📍
t crítico (gl=7, cola der., α=0.05) = 1.895
⚖️
6.062 > 1.895 → RECHAZAR H₀

🎉 Conclusión: El curso reduce significativamente la ansiedad ante la estadística. ¡Los números ya no asustan!

📚 3.2 ¿El método activo mejora las calificaciones?

Unilateral derecha · H₁: μ_d > 0 · α = 0.05

📌
H₀: μ_d = 0 (el método no mejora)
🎯
H₁: μ_d > 0 (calificación post > pre)
📊
n = 10 alumnos
Pre: 58, 62, 55, 70, 65, 60, 72, 66, 59, 63
Post: 64, 68, 62, 74, 70, 65, 76, 68, 64, 69
d = Post−Pre: 6, 6, 7, 4, 5, 5, 4, 2, 5, 6
d̄ = 50/10 = 5.0
🧮
s²_d = [(6−5)²+(6−5)²+(7−5)²+(4−5)²+(5−5)²+(5−5)²+(4−5)²+(2−5)²+(5−5)²+(6−5)²] / 9
= [1+1+4+1+0+0+1+9+0+1] / 9 = 18/9 = 2.0
s_d = √2.0 ≈ 1.414
EE = 1.414 / √10 = 1.414 / 3.162 = 0.447
t = 5.0 / 0.447 = 11.19
📍
t crítico (gl=9, cola der., α=0.05) = 1.833
⚖️
11.19 > 1.833 → RECHAZAR H₀

✨ El método activo mejora significativamente las calificaciones. ¡Todos a aplicarlo en el aula!

📱 3.3 ¿La app reduce el tiempo en redes sociales?

Unilateral derecha · H₁: μ_d > 0 · α = 0.05

📌
H₀: μ_d = 0 (sin reducción)
🎯
H₁: μ_d > 0 (antes > después, es decir, menor uso)
📊
n = 12 usuarios
Antes: 3.5, 4.0, 2.8, 5.2, 3.1, 4.6, 2.9, 3.8, 4.1, 5.0, 2.5, 3.9 h/día
Después: 2.2, 2.5, 1.9, 3.8, 2.1, 3.2, 2.0, 2.7, 2.9, 3.5, 1.8, 2.8
d = 1.3, 1.5, 0.9, 1.4, 1.0, 1.4, 0.9, 1.1, 1.2, 1.5, 0.7, 1.1
d̄ = 13.0/12 ≈ 1.083
🧮
s_d ≈ 0.246 (calculada con las 12 diferencias)
EE = 0.246 / √12 = 0.246 / 3.464 = 0.0711
t = 1.083 / 0.0711 = 15.23
📍
t crítico (gl=11, cola der., α=0.05) = 1.796
⚖️
15.23 > 1.796 → RECHAZAR H₀

⏳🌿 La app reduce significativamente el tiempo en redes sociales (~1.08 h/día). ¡Más vida real!

📈 4. Prueba T para la pendiente de regresión lineal

¿Existe una relación lineal significativa entre X e Y? Probamos si la pendiente β₁ de la recta es distinta de cero. Si β₁ = 0, X no predice Y.

✅ Supuestos de regresión simple: ① Linealidad ② Independencia de residuos ③ Homocedasticidad (varianza constante) ④ Normalidad de residuos

📐 Modelo de regresión

     ŷ = b₀ + b₁·x   (b₁ = pendiente muestral estimada de β₁)
    

📐 Estadístico t para la pendiente

t = b₁ − β₀ EE(b₁) = b₁ EE(b₁) (si β₀ = 0 en H₀)

gl = n − 2 | EE(b₁) = s / √Sxx | Sxx = Σ(xᵢ − x̄)² | s = √[SSE/(n−2)]

📖 4.1 ¿Las horas de estudio predicen la calificación?

Unilateral derecha · H₁: β₁ > 0 · α = 0.05

📌
H₀: β₁ = 0 (las horas no predicen la nota)
🎯
H₁: β₁ > 0 (a más horas, mejor nota)
📊
n = 15
Regresión ajustada: ŷ = 52 + 2.5·x
b₁ = 2.5 pts/hora, EE(b₁) = 0.80
🧮
t = b₁ / EE(b₁) = 2.5 / 0.80 = 3.125
Interpretación: cada hora de estudio extra suma ~2.5 puntos
📍
t crítico (gl=13, cola der., α=0.05) = 1.771
⚖️
3.125 > 1.771 → RECHAZAR H₀

📚🎯 La pendiente es positiva y significativa. ¡Las horas de estudio sí importan y se reflejan en las notas!

💪 4.2 ¿La edad reduce la fuerza de agarre?

Unilateral izquierda · H₁: β₁ < 0 · α = 0.05

📌
H₀: β₁ = 0 (edad no afecta la fuerza)
🎯
H₁: β₁ < 0 (a mayor edad, menor fuerza)
📊
n = 20
Regresión ajustada: ŷ = 45 − 0.30·edad
b₁ = −0.30 kg/año, EE(b₁) = 0.12
🧮
t = (−0.30) / 0.12 = −2.500
Cada año de edad reduce ~0.30 kg la fuerza de agarre
📍
t crítico (gl=18, cola izq., α=0.05) = −1.734
⚖️
−2.500 < −1.734 → RECHAZAR H₀

🏋️‍♂️ La edad se asocia negativamente con la fuerza de agarre de forma significativa. ¡A entrenar la fuerza a cualquier edad!

☕ 4.3 ¿La cafeína reduce el tiempo de reacción?

Bilateral · H₁: β₁ ≠ 0 · α = 0.05

📌
H₀: β₁ = 0 (cafeína no tiene efecto lineal)
🎯
H₁: β₁ ≠ 0 (cualquier efecto lineal)
📊
n = 25
Regresión ajustada: ŷ = 0.30 − 0.05·cafeína (mg)
b₁ = −0.05 seg/mg, EE(b₁) = 0.02
🧮
t = (−0.05) / 0.02 = −2.500
Cada mg de cafeína reduce ~0.05 s el tiempo de reacción
📍
t crítico (gl=23, bilateral, α=0.05) = ±2.069
⚖️
|−2.500| = 2.500 > 2.069 → RECHAZAR H₀

⚡☕ Relación lineal significativa: más cafeína = menor tiempo de reacción. ¡Con moderación, que el corazón también cuenta!

🧮 Calculadora de Prueba T — Una muestra

Ingresa tus datos y obtén el estadístico t, la decisión y la interpretación al instante.

📊 Media muestral (x̄)

🎯 Valor hipotético (μ₀)

📉 Desv. estándar muestral (s)

👥 Tamaño de muestra (n)

⚖️ Nivel de significancia (α)

🔀 Tipo de prueba

📋 Resultados

Error estándar (EE = s/√n)

Estadístico t calculado

Grados de libertad (gl)

t crítico aproximado

Región de rechazo

📋 Valores t críticos más usados

gl	α=0.10 bilateral	α=0.05 bilateral	α=0.01 bilateral	α=0.05 una cola	α=0.01 una cola

🗺️ Guía: ¿Qué prueba T debo usar?

Sigue este árbol de decisión según tu diseño de investigación.

PREGUNTA 1

¿Cuántos grupos tienes?

Un solo grupo → Sigue a P2 Dos grupos → Sigue a P3

↓

PREGUNTA 2 (un grupo)

¿Comparas la media del grupo con un valor de referencia conocido?

Sí → 🔬 Prueba T para una muestra

Ejemplo: "¿Mis alumnos duermen en promedio 8h (referencia médica)?"

↓

PREGUNTA 3 (dos grupos)

¿Son los mismos sujetos (o pares naturales) medidos dos veces?

Sí (antes/después, pareados) → 🔄 Prueba T muestras pareadas No (dos grupos distintos) → 👥 Prueba T dos muestras independientes

¿Pares naturales? Gemelos, cónyuge-esposa, mismo paciente pre/post. Si son personas distintas → independientes.

↓

CASO ESPECIAL

¿Estás trabajando con una regresión lineal simple y quieres saber si X predice Y?

Sí → 📈 Prueba T para pendiente de regresión

🔬 T Una muestra — úsala cuando…

Tienes un grupo y una referencia teórica o normativa
Quieres comparar tu media con un estándar conocido
σ poblacional es desconocida (si σ es conocida, usa Z)
Ejemplos: horas de sueño vs recomendación, peso promedio vs estándar

👥 T Dos muestras independientes — úsala cuando…

Tienes dos grupos formados por personas distintas
Los grupos no tienen ninguna relación entre sí
Quieres comparar las medias de ambos grupos
Ejemplos: hombres vs mujeres, grupo control vs experimental (distintas personas)

🔄 T Muestras pareadas — úsala cuando…

Los mismos sujetos participan en ambas condiciones
Hay un diseño antes/después (pre-post)
Existen pares naturales (gemelos, cónyuge/cónyuge)
Ejemplos: peso antes y después de dieta, ansiedad pre/post intervención

📈 T Pendiente de regresión — úsala cuando…

Tienes datos bivariados (X, Y) y ajustaste una recta
Quieres saber si la relación lineal es significativa
Pruebas H₀: β₁ = 0 (sin relación) vs H₁: β₁ ≠ 0 (hay relación)
Ejemplos: ¿estudio predice nota?, ¿edad predice salario?

🧙‍♂️ Tip: Antes de elegir la prueba, siempre pregúntate (1) ¿Cuántos grupos?, (2) ¿Son los mismos sujetos?, (3) ¿Tengo una referencia teórica? ¡Con esas tres preguntas nunca te equivocas de prueba!

📋 Tabla resumen — Las 4 pruebas T

🎯 Regla de oro: Si |t calculado| > |t crítico| (según gl y colas) → ¡Rechazas H₀! El efecto es estadísticamente significativo.

Prueba	Pregunta que responde	gl	Fórmula del estadístico t	Datos necesarios
🔬 Una muestra	¿Mi media difiere de μ₀?	n − 1	t = (x̄ − μ₀) / (s/√n)	x̄, s, n, μ₀
👥 Dos muestras independientes	¿Las medias de dos grupos difieren?	n₁+n₂−2	t = (x̄₁−x̄₂) / (sₚ·√(1/n₁+1/n₂))	x̄₁, x̄₂, s₁, s₂, n₁, n₂
🔄 Muestras pareadas	¿Antes vs después cambia la media?	n − 1	t = d̄ / (s_d/√n)	Pares de datos, d̄, s_d, n
📈 Pendiente de regresión	¿X predice linealmente a Y?	n − 2	t = b₁ / EE(b₁)	b₁, EE(b₁), n

🧙‍♂️ Recuerda: Siempre verifica los supuestos antes de aplicar la prueba — normalidad (Shapiro-Wilk para n<50), homogeneidad de varianzas (Levene en muestras independientes). ¡La estadística honesta empieza con supuestos cumplidos!