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Pruebas de Hipótesis Z

🎩 30 años haciendo bailar los números 🕺

Mide si tus datos son «raros» vs. la realidad. ¿Termómetro estadístico? ¡Sí! Usamos Z como detective. 🕵️‍♂️

🧠 1. Prueba Z para UNA MEDIA

Comparas la media de tu muestra (¯x) contra la media de la población (μ₀). ¿Tu clase es más lista? ¿Los gatos duermen menos? ¡Vamos!

📐 Z = (̄x - μ₀) / (σ / √n)

📚 1.1 ¿Mis alumnos más listos que la media?

Unilateral derecha α=0.05 → Z crítico = 1.645

📌 Datos: μ₀=70, σ=15, n=36, ̄x=75.
🔢 Z calculado: (75-70)/(15/√36)=5/(15/6)=5/2.5=2.0
✅ Decisión: 2.0 > 1.645 → Rechazamos H₀.

🎓 Conclusión: ¡Sí, mis alumnos son más listos! (95% confianza). 🚀

😺 1.2 ¿Gatos duermen menos de 16h?

Unilateral izquierda Z crítico = -1.645

📌 Datos: μ₀=16, σ=2h, n=50, ̄x=15.5h.
🔢 Z: (15.5-16)/(2/√50)=(-0.5)/(2/7.071)= -0.5/0.283 = -1.77
✅ Decisión: -1.77 < -1.645 → Rechazamos H₀.

😴 Los gatos sí duermen menos (pobres trasnochadores). ❌

📏 1.3 ¿Estatura promedio cambió?

Bilateral Z crítico = ±1.96

📌 Datos: μ₀=170cm, σ=10cm, n=100, ̄x=172cm.
🔢 Z: (172-170)/(10/10)=2/1=2.0
✅ Decisión: 2.0 > 1.96 → Rechazamos H₀.

🦒 ¡Sí ha cambiado! Los jóvenes ahora son más altos.

🎮📚 2. Prueba Z para DOS MEDIAS (independientes)

Comparas dos grupos distintos: gamers vs lectores, mujeres vs hombres, etc.

📐 Z = (̄x₁ - ̄x₂) / √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)

🎮 2.1 Gamers vs Lectores: reflejos

Bilateral α=0.05, Z crítico = ±1.96

📌 Gamers: n₁=30, ̄x₁=0.25s, σ₁=0.05
Lectores: n₂=40, ̄x₂=0.28s, σ₂=0.06
Z = (0.25-0.28)/√(0.05²/30 + 0.06²/40) = -0.03/√(0.0000833+0.00009)= -0.03/0.01316 = -2.28
|-2.28| > 1.96 → Rechazo H₀.

🎮✨ ¡Sí hay diferencia! Gamers reflejos más rápidos.

🏃 2.2 Mujeres vs Hombres (100m)

Unilateral derecha Z crítico = 1.645

📌 Mujeres: n=35, media 14.2s, σ=0.8 ; Hombres: n=40, media 13.9s, σ=0.7
Z = (14.2-13.9)/√(0.8²/35+0.7²/40) = 0.3/√(0.01829+0.01225) = 0.3/0.1748 = 1.716
1.716 > 1.645 → Rechazo H₀.

🏋️‍♀️ Sí, las mujeres (en esta muestra) son más lentas. ¡A entrenar!

🔋 2.3 Duración baterías: Marca A vs B

Bilateral Z crítico = ±1.96

A: n=50, media=120h, σ=10 ; B: n=50, media=125h, σ=12
Z = (120-125)/√(10²/50+12²/50) = -5/√(2+2.88) = -5/2.209 = -2.263
|-2.263| > 1.96 → Rechazo H₀.

💪 Marca B dura más, diferencia significativa. ¡Compra B!

☕ 3. Prueba Z para UNA PROPORCIÓN

¿El porcentaje de una muestra es diferente al % histórico? Ejemplo: ¿Más del 30% prefiere café descafeinado?

📐 Z = (p̂ - p₀) / √[ p₀(1-p₀) / n ]

☕ 3.1 ¿Más del 30% prefiere descafeinado?

Unilateral derecha Z crítico=1.645

n=200, éxitos=70 → p̂=0.35, H₀: p=0.30
Z = (0.35-0.30)/√(0.30*0.70/200) = 0.05/√(0.21/200)=0.05/0.0324=1.543
1.543 < 1.645 → No rechazo H₀.

🥱 No hay evidencia suficiente. Café descafeinado aún no supera el 30%.

🐶 3.2 Perros que temen a aspiradoras ≠10%

Bilateral Z crítico=±1.96

n=80, 14 temen → p̂=0.175, H₀: p=0.10
Z = (0.175-0.10)/√(0.10*0.90/80) = 0.075/√(0.09/80)=0.075/0.03354=2.236
2.236 > 1.96 → Rechazo H₀.

😱 ¡Más del 10% temen a la aspiradora! Pobres peludos.

📉 3.3 Ausentismo laboral ¿bajó del 20%?

Unilateral izquierda Z crítico=-1.645

n=150, faltaron 18 → p̂=0.12, H₀: p=0.20
Z = (0.12-0.20)/√(0.20*0.80/150) = -0.08/√(0.16/150)= -0.08/0.03266 = -2.45
-2.45 < -1.645 → Rechazo H₀.

🎉 El ausentismo ha disminuido significativamente.

🗳️ 4. Prueba Z para DOS PROPORCIONES

Comparas dos grupos: ¿hombres y mujeres votan igual? ¿Nuevo jabón funciona mejor?

📐 Z = (p̂₁ - p̂₂) / √[ p̂(1-p̂)·(1/n₁+1/n₂) ], donde p̂ = (x₁+x₂)/(n₁+n₂)

🗳️ 4.1 Voto al partido X: hombres vs mujeres

Bilateral Z crítico=±1.96

Hombres: 120/300 → p̂₁=0.4 ; Mujeres: 90/250 → p̂₂=0.36
p̂ combinado=210/550=0.3818
Z = (0.4-0.36)/√[0.3818*0.6182*(1/300+1/250)] = 0.04/√(0.236*0.00733)=0.04/0.0416=0.962
0.962 < 1.96 → No rechazo H₀.

🤝 No hay diferencia significativa. Hombres y mujeres votan similar.

🧼 4.2 Nuevo jabón vs viejo (menos infecciones)

Unilateral izquierda Z crítico=-1.645

Nuevo: 15/200 → 0.075 ; Viejo: 25/180 → 0.1389
p̂=40/380=0.1053
Z = (0.075-0.1389)/√[0.1053*0.8947*(1/200+1/180)] = -0.0639/√(0.0942*0.01056)= -0.0639/0.03155 = -2.025
-2.025 < -1.645 → Rechazo H₀.

🧴✅ El nuevo jabón es mejor (menor proporción de infectados).

📱 4.3 TikTok: adolescentes de ciudad vs campo

Bilateral Z crítico=±1.96

Ciudad: 80/100 → 0.8 ; Campo: 60/100 → 0.6
p̂=140/200=0.70
Z = (0.8-0.6)/√[0.7*0.3*(1/100+1/100)] = 0.20/√(0.21*0.02) = 0.20/0.0648 = 3.086
3.086 > 1.96 → Rechazo H₀.

📲🌆 ¡Sí hay diferencia! Los de ciudad usan mucho más TikTok.

📋✨ Regla de oro & tabla rápida

✔️ Si |Z calculado| > Z crítico → ¡Rechazas H₀! (el efecto es significativo).
📌 Valores críticos comunes (α=0.05): bilateral ±1.96, unilateral derecha +1.645, unilateral izquierda -1.645.

Prueba	¿Qué compara?	Fórmula estrella
Una media	Muestra vs población	Z = (̄x-μ)/(σ/√n)
Dos medias	Grupo 1 vs Grupo 2	Z = (̄x₁-̄x₂)/√(σ₁²/n₁+σ₂²/n₂)
Una proporción	% muestra vs % pob.	Z = (p̂-p₀)/√[p₀(1-p₀)/n]
Dos proporciones	Diferencias entre %s	Z = (p̂₁-p̂₂)/√[p̂(1-p̂)(1/n₁+1/n₂)]

🎲 Profe dice: «Las pruebas Z son como una lupa matemática. Con práctica, hasta el miedo a la estadística desaparece. ¡Anímate a usarlas!» ☕🔍