Inspector Normalidad

Imagina que eres gerente de una cadena de cafeterías. Analizas el tiempo de espera de los clientes. Si los datos siguen una distribución normal, puedes usar la media y la desviación típica para predecir cuántos clientes esperarán más de 5 minutos y tomar decisiones. Pero si la distribución es asimétrica o tiene colas pesadas, tus predicciones fallarán y podrías perder clientes.

En administración de empresas, comprobar la normalidad es vital: muchos modelos (pruebas t, ANOVA, regresión lineal, control de calidad) suponen que los datos o los residuos son normales. Si no lo son, podemos tomar decisiones equivocadas.

Regla de decisión universal:

• Si p < 0.05 (o tu α elegido) → Rechazas H₀: los datos no son normales.
• Si p ≥ 0.05 → No rechazas H₀: no hay evidencia suficiente para afirmar que no son normales (asumimos normalidad).

¿En qué consiste?

Compara cuánto se parecen los datos ordenados a lo que esperaríamos si fueran normales. Es como mirar una foto de familia y ver si todos están donde deberían. Es la prueba más potente para muestras pequeñas y medianas (n ≤ 50, aunque muchos softwares la usan hasta n=2000).

Estadístico W: varía entre 0 y 1. Cuanto más cerca de 1, más "normales" se ven los datos. Valores pequeños indican desviaciones de la normalidad.

Pasos (con software):

1. Ordenar los datos de menor a mayor.
2. Calcular una combinación lineal de los valores ordenados y unos coeficientes especiales (que no haremos a mano, ¡tranquilo!).
3. Obtener el estadístico W y el valor p.
4. Decidir.

Regla de oro: Si p < 0.05, ¡campana rota! Si no, respiramos normalidad.

🏢 Ejemplo 1: Tiempo de atención en cajas (supermercado)

Un supermercado mide el tiempo (en minutos) que 10 clientes pasan en caja:

Queremos saber si podemos aplicar un control estadístico de procesos que supone normalidad.

• H₀: Los tiempos de atención siguen una distribución normal.
• Resultado software: W = 0.987, p = 0.952.

💼 Ejemplo 2: Comisiones mensuales de vendedores

La empresa analiza las comisiones (en cientos de $) de 15 vendedores:

Hay un vendedor estrella (30) que podría estar inflando la distribución.

• Shapiro-Wilk: W = 0.834, p = 0.011.

🏭 Ejemplo 3: Diámetro de tornillos producidos

Control de calidad mide 25 tornillos (en mm). Se espera normalidad para usar cartas de control X-barra.

• Shapiro-Wilk: W = 0.976, p = 0.798.

¿En qué consiste?

La prueba KS clásica compara la función de distribución empírica (los datos acumulados) con la distribución teórica normal… pero solo si conocemos la media y la desviación reales. Como en la vida real las estimamos de la muestra, la prueba KS estándar es demasiado optimista. Por eso usamos la corrección de Lilliefors, que ajusta los valores críticos. Es la versión que ofrecen SPSS, R (función lillie.test), etc.

Estadístico D: máxima diferencia absoluta entre la distribución acumulada observada y la normal esperada. Cuanto mayor es D, más sospechosa es la normalidad.

Es menos potente que Shapiro-Wilk para muestras pequeñas, pero muy útil para muestras grandes y para comparar contra otras distribuciones.

🛒 Ejemplo 1: Ingresos diarios de una tienda minorista

Se registran los ingresos de 50 días. El gerente quiere usar un modelo de inventario que asume demanda normal.

• Prueba de Lilliefors: D = 0.089, p = 0.372.

📊 Ejemplo 2: Horas extras semanales de empleados

Datos de 40 empleados: muchas horas extras concentradas en unos pocos (cola derecha larga).

• Lilliefors: D = 0.215, p < 0.001.

🏦 Ejemplo 3: Rentabilidad mensual de un fondo de inversión

Se analizan 60 rentabilidades mensuales. En finanzas se suele usar Jarque-Bera, pero también podemos aplicar Lilliefors.

• Lilliefors: D = 0.122, p = 0.018.

¿En qué consiste?

Similar a KS, pero da más peso a las diferencias en las colas de la distribución (los valores extremos). En negocios, muchas veces lo que nos preocupa son los eventos extremos (grandes pérdidas, clientes insatisfechos). Por eso AD es un gran aliado.

Estadístico A²: Un número que crece cuando las colas se alejan de lo esperado en una normal.

Ventaja: Es más sensible que KS en las colas, y más potente para detectar desviaciones de normalidad en muchos casos.

Pasos: 1) Ordenar datos, estandarizar. 2) Calcular la función de distribución acumulada normal. 3) Acumular diferencias ponderadas. 4) Obtener A² y p-valor.

🏨 Ejemplo 1: Satisfacción de clientes de hotel (puntuación 1-10)

Encuestamos a 200 huéspedes. Las puntuaciones tienden a acumularse en 8-10 (sesgo a la izquierda). ¿Son normales?

• Anderson-Darling: A² = 12.34, p < 0.0005.

💳 Ejemplo 2: Tiempo de aprobación de créditos bancarios

Se mide el tiempo (días) de 35 solicitudes. La distribución parece simétrica, pero con algunos casos muy rápidos (cola izquierda).

• AD: A² = 0.67, p = 0.076.

📦 Ejemplo 3: Peso de paquetes enviados por una empresa logística

Muestra de 80 paquetes. Los pesos tienen una distribución bastante simétrica.

• AD: A² = 0.34, p = 0.481.

¿En qué consiste?

En lugar de comparar toda la distribución, se fija en dos características clave de la normalidad: asimetría (skewness) y curtosis (kurtosis). Una normal tiene asimetría 0 y curtosis 3 (o 0 si es exceso de curtosis). Combina ambas en un solo estadístico.

donde $S$ es el coeficiente de asimetría muestral y $K$ la curtosis muestral. Bajo H₀, $JB \sim \chi^2_{(2)}$.

Nota: Requiere muestras grandes (n > 50, mejor > 200) porque los estimadores de curtosis son inestables en muestras pequeñas.

📈 Ejemplo 1: Rendimientos diarios de una acción

Tenemos 500 rendimientos diarios. Calculamos S = -0.15, K = 4.8 (cola pesada).

Valor crítico $\chi^2_{(2)}$ al 5% ≈ 5.99. p ≈ 0.000.

🏢 Ejemplo 2: Salarios de empleados de una corporación

Muestra de 300 salarios (en miles). Hay algunos directivos con salarios muy altos.

📋 Ejemplo 3: Tiempo de ciclo de un proceso administrativo

Se mide el tiempo (minutos) de 150 trámites. El proceso está estandarizado y los datos son simétricos.

¿En qué consiste?

Similar a Jarque-Bera, pero más refinada y robusta. Combina la información de asimetría y curtosis mediante transformaciones que las hacen aproximadamente normales, y luego las suma en un solo estadístico $K^2$. Es muy completa y recomendada para todo tipo de muestras.

Bajo H₀, $K^2 \sim \chi^2_{(2)}$. Se interpreta igual que JB, pero con mejor comportamiento en muestras no tan grandes.

🏪 Ejemplo 1: Ventas semanales de una franquicia

100 semanas de ventas. Se sospecha normalidad.

• D'Agostino-Pearson: K² = 3.45, p = 0.178.

🏭 Ejemplo 2: Defectos por lote en una fábrica

50 lotes, número de defectos (distribución discreta, pero a veces se aproxima a normal).

• K² = 15.2, p = 0.0005.

📞 Ejemplo 3: Duración de llamadas de un call center

120 llamadas. Distribución con cola derecha larga.

• K² = 28.7, p < 0.0001.

🤔 ¿Cuál elegir?

• Muestras pequeñas (n < 50): Shapiro-Wilk.
• Muestras grandes y te importan las colas: Anderson-Darling.
• En finanzas o economía con n grande: Jarque-Bera.
• Si buscas una prueba ómnibus muy fiable: D'Agostino-Pearson.
• Si además quieres comparar contra otras distribuciones: Kolmogorov-Smirnov (Lilliefors).