🎯 Variables Instrumentales / 2SLS

🎯 Endogeneidad

Ocurre cuando un regresor X está correlacionado con el error ε. Las causas principales son tres: (1) Variable omitida: algo que no incluiste en el modelo afecta tanto a X como a Y. Por ejemplo, al estudiar el efecto de la educación en el salario, la "habilidad innata" no se observa pero afecta ambas. (2) Simultaneidad: X causa Y pero Y también causa X (como oferta y demanda). (3) Error de medición: X se mide con error, y ese error termina en el residuo.

Cuando hay endogeneidad, MCO ya no es consistente: el estimador no converge al valor verdadero aunque tengamos millones de datos. En lugar de estimar β, MCO estima β + Cov(X,ε)/Var(X), un sesgo que no desaparece con el tamaño muestral.

🔧 Instrumento Z

Una variable instrumental Z nos proporciona una fuente de variación "limpia" para X. Debe cumplir dos condiciones fundamentales:

Relevancia: Cov(Z,X) ≠ 0 — Z debe estar correlacionada con la variable endógena X. Si Z no predice a X, no nos sirve de nada. La regla práctica es que el estadístico F de la primera etapa sea mayor que 10 (Stock & Yogo, 2005).

Exogeneidad: Cov(Z,ε) = 0 — Z no debe estar correlacionada con el error. Esto significa que Z afecta a Y solo a través de X. No hay una prueba estadística definitiva para esto (depende de argumentos teóricos).

📐 2SLS - Primera Etapa

En la primera etapa, regresionamos la variable endógena X sobre el(los) instrumento(s) Z y las demás variables exógenas. El objetivo es obtener la parte de X que NO está correlacionada con el error.

Paso 1: X = Zπ + v. Estimamos π por MCO y calculamos los valores predichos X̂ = Zπ̂. Estos valores predichos contienen solo la variación de X que viene de Z (que es exógena). La parte v (residuos) contiene la variación endógena que descartamos.

Verificación de relevancia: Si tenemos un solo instrumento, miramos el estadístico F de esta regresión. Si F > 10, el instrumento es fuerte. Si F < 10, tenemos instrumentos débiles y 2SLS puede estar sesgado.

📐 2SLS - Segunda Etapa

En la segunda etapa, regresionamos Y sobre los valores predichos X̂ (no sobre X original). Como X̂ solo contiene variación exógena (la que viene de Z), el estimador β_2SLS es consistente.

Importante: 2SLS es consistente pero no insesgado en muestras finitas. El sesgo va en la misma dirección que el de MCO pero es menor, y desaparece cuando n → ∞. Con instrumentos débiles, 2SLS puede estar más sesgado que el propio MCO.

Si tenemos más instrumentos que variables endógenas (sobreidentificación), podemos usar el test de Sargan (o Hansen J-test) para verificar si algunos instrumentos son inválidos. La hipótesis nula es que todos los instrumentos son válidos.

⚠️ Instrumentos Débiles

Un instrumento es "débil" cuando Cov(Z,X) es cercana a cero, aunque sea estadísticamente significativa. Las consecuencias son graves:

(1) El estimador 2SLS está sesgado hacia el estimador MCO (sesgo de "hacia adelante"). (2) Los errores estándar son grandes, lo que reduce la potencia de los tests. (3) La inferencia basada en la normalidad asintótica no es confiable incluso con muestras grandes.

Solución común: Usar más instrumentos (si están disponibles), usar el estimador LIML (Limited Information Maximum Likelihood) que es más robusto a instrumentos débiles, o usar métodos de inferencia robusta como Anderson-Rubin.

🔍 Test de Sargan

Cuando tenemos más instrumentos que variables endógenas (q > k), el modelo está sobreidentificado. Podemos probar si algunos instrumentos son inválidos.

Idea: Si todos los instrumentos son válidos, los residuos de 2SLS no deberían estar correlacionados con ningún instrumento. El estadístico Sargan se calcula como n·R² de la regresión de los residuos de 2SLS sobre todos los instrumentos. Bajo H0 (todos válidos), Sargan ~ χ²(q-k).

Precaución: Si todos los instrumentos son inválidos en la misma dirección, el test puede no detectarlo. Además, el test requiere que al menos un instrumento sea válido (el modelo está identificado).