📐 Modelo MNL
Cuando la variable dependiente tiene J categorías no ordenadas (ej: transporte: bus, metro, coche), el Multinomial Logit asigna una probabilidad a cada alternativa. La probabilidad de elegir la alternativa j es: P(Y=j) = exp(Xβₗ) / Σexp(Xβₗ).
Para que el modelo esté identificado, normalizamos β₁ = 0 (categoría base). Esto significa que estimamos J-1 vectores de coeficientes, cada uno comparando la alternativa j contra la base.
Interpretación: βₗ mide el efecto de X sobre la probabilidad relativa de elegir j versus la categoría base. No hay un solo β, sino un conjunto de ellos.
🔗 IIA
La Independencia de Alternativas Irrelevantes (IIA) es el supuesto clave del MNL: la probabilidad relativa de elegir A sobre B no depende de la presencia o ausencia de otras alternativas. En términos de odds: P(A)/P(B) = exp(Xβᴴ)/exp(Xβᴵ) no depende de la alternativa C.
¿Por qué importa? Si las alternativas son sustitutos cercanos, IIA se viola. Ejemplo clásico: "autobús rojo vs autobús azul". Si añadimos un autobús azul idéntico al rojo, el modelo MNL predeciría que el coche pierde la misma proporción que el autobús rojo, cuando en realidad el autobús azul le quitaría pasajeros al rojo, no al coche.
📊 Conditional Logit
El Conditional Logit (McFadden, 1974) es una variante donde los atributos de cada alternativa (Z) varían, pero los coeficientes (γ) son comunes. Ej: el tiempo de viaje en bus, metro y coche son diferentes para cada persona, pero el efecto del tiempo es el mismo.
Diferencia clave: En MNL, las X son características del individuo (edad, ingreso) y los β varían por alternativa. En Conditional Logit, las Z son atributos de la alternativa (tiempo, costo) y γ es común. En la práctica, se combinan ambos.
🌳 Nested Logit
Cuando el supuesto IIA no se cumple, una solución es agrupar alternativas similares en "nidos" (nests). Ejemplo: transporte público (bus, metro) vs privado (coche, bici). Dentro de cada nido, IIA se cumple, y entre nidos también, pero con distinta varianza.
El modelo se estima en dos niveles: (1) probabilidad de elegir el nido, (2) probabilidad de elegir la alternativa dentro del nido. Se introduce un parámetro λ que mide la correlación dentro del nido.
Test de IIA: El test de Hausman-McFadden verifica si IIA se cumple. Si se rechaza, Nested Logit es una alternativa.
⚠️ Problemas comunes en MNL
Sobreidentificación: Con J alternativas y K regresores, se estiman (J-1)×K coeficientes. Muchos parámetros pueden hacer el modelo inestable.
Muestras pequeñas: Si una alternativa tiene pocas observaciones, los coeficientes asociados pueden tener errores estándar muy grandes.
Categorías irrelevantes: Incluir alternativas que nadie elige puede distorsionar las estimaciones. Es mejor agrupar categorías con pocas observaciones.
🔧 Estimación MLE
Al igual que Logit binario, MNL se estima por MLE. La función de verosimilitud es la suma sobre individuos de la probabilidad de la alternativa que realmente eligieron. La optimización numérica es similar.
Bondad de ajuste: Se usa el pseudo-R² de McFadden (1 - lnL_modelo/lnL_restricto) y el porcentaje de predicciones correctas. También el AIC y BIC para comparar modelos.
Efectos marginales: ∂P(Y=j)/∂Xₖ = P(Y=j)[βₗₖ - ΣP(Y=m)βₘₖ]. Son más complejos que en Logit binario porque involucran todas las alternativas.
Modelamos la elección de medio de transporte entre Bus (B), Metro (M) y Coche (C). Usamos el tiempo de viaje como único atributo. Elegimos Coche como categoría base (β_C = 0).
Estimamos el modelo por MLE y obtenemos: β_Bus = -0.05, β_Metro = -0.04 (coeficientes del tiempo para Bus y Metro versus Coche). El negativo indica que a mayor tiempo, menor probabilidad de elegir esa alternativa respecto a Coche. Las constantes: α_Bus = 0.2, α_Metro = 0.5 (preferencias base).
Para tiempos Bus=50, Metro=40, Coche=30: U_Bus = 0.2 - 0.05×50 = -2.3. U_Metro = 0.5 - 0.04×40 = -1.1. U_Coche = 0 (base=0). Probabilidades: exp(U_Bus)/(exp(-2.3)+exp(-1.1)+exp(0)) = 0.100/(0.100+0.333+1) = 0.07 (7%). Metro: 0.333/1.433 = 0.23 (23%). Coche: 1/1.433 = 0.70 (70%).
Si el tiempo del Bus baja a 30 (de 50): U_Bus = 0.2 - 0.05×30 = -1.3. exp(-1.3) = 0.272. Nueva probabilidad Bus: 0.272/(0.272+0.333+1) = 0.17 (17%). Metro: 0.333/1.605 = 0.21 (21%). Coche: 1/1.605 = 0.62 (62%). El Bus ganó 10 puntos porcentuales, principalmente del Coche.
Si eliminamos el Metro del conjunto de alternativas, el odds Bus/Coche debería permanecer igual bajo IIA: P(Bus)/P(Coche) original = 0.07/0.70 = 0.10. Sin Metro: P(Bus) = 0.07/(0.07+0.70) = 0.09, P(Coche) = 0.91, odds = 0.09/0.91 = 0.10. ¡Se cumple! Pero en la realidad, si el metro desaparece, muchos usuarios de metro tomarían el bus (violando IIA). Para eso sirve Nested Logit.
Ajusta los atributos y observa cómo cambian las probabilidades de elección entre 3 alternativas.