✂️ TAR (Threshold AR)
El modelo TAR divide el espacio en régimenes según una variable umbral (zₜ). Si zₜ ≤ c (el umbral), el proceso sigue un AR en régimen 1; si zₜ > c, sigue otro AR en régimen 2. Cada régimen tiene sus propios coeficientes AR.
Intuición: Es como tener dos coches diferentes: uno para ciudad (régimen bajo) y otro para carretera (régimen alto). El cambio entre ellos es abrupto, determinado por un umbral.
Ejemplo real: PIB de EE.UU. en expansión tiene dinámica AR(1) con φ=0.8 (crecimiento persistente). En recesión, φ=-0.3 (contracción que revierte rápido). El umbral podría ser la tasa de desempleo o el cambio en el PIB del trimestre anterior.
Peligro común: Estimar el umbral c no es trivial. Se usa una búsqueda grid con el estadístico de Chow o AIC. La inferencia sobre c no es estándar (el parámetro solo es identificable bajo la alternativa de no linealidad).
🌊 STAR (Smooth Transition AR)
STAR reemplaza el salto abrupto del TAR con una transición suave usando una función logística: yₜ = φ₁'xₜ + (φ₂'xₜ)·G(sₜ; γ, c) + εₜ. G(z) = 1/(1 + exp(-γ(z-c))). γ controla la velocidad de transición: γ→∞ → TAR (abrupto), γ→0 → AR lineal.
Intuición: La economía no cambia de régimen de golpe. STAR permite una transición gradual: las empresas no ajustan todos sus precios instantáneamente cuando la inflación cruza un umbral.
Ejemplo: Phillips Curve no lineal: cuando el desempleo está muy por debajo de la NAIRU (mercado apretado), la inflación responde más fuertemente que cuando está cerca de la NAIRU. La transición entre estos estados es gradual.
Peligro común: Si γ es muy grande, STAR tiene problemas de convergencia numérica (la función logística es casi una escalón). Si γ es muy pequeño, el modelo es casi lineal y no hay ganancia predictiva.
🔄 Markov Switching (Hamilton, 1989)
El modelo de Markov Switching (MS) asume que el régimen sₜ ∈ {1,2,...,K} sigue una cadena de Markov con probabilidades de transición pᵢⱼ = P(sₜ=j | sₜ₋₁=i). En cada régimen, el proceso tiene su propia dinámica y varianza.
Intuición: La economía se mueve entre "buenos" y "malos" estados, y la probabilidad de cambiar de estado depende solo del estado actual (no de cuánto tiempo llevas ahí). Es como tener resaca: si estás en estado "crudo", mañana puedes seguir crudo o mejorar, pero no empeorar más.
Ejemplo clásico: Hamilton (1989) modeló el PIB de EE.UU. con MS(2) (2 regímenes: expansión y recesión). Las probabilidades filtradas de recesión identifican perfectamente las recesiones NBER sin necesidad de definirlas a priori.
Peligro común: La función de verosimilitud de MS tiene múltiples máximos locales. Es necesario probar diferentes valores iniciales y usar el algoritmo EM (Expectation-Maximization) para convergencia global.
📊 Tests de No Linealidad
Test de Tsay: Basado en regresiones auxiliares con términos cuadráticos y de interacción. H₀: el modelo es lineal AR(p). Se rechaza si los términos no lineales son conjuntamente significativos.
Test BDS (Brock-Dechert-Scheinkman): Basado en integral de correlación. Detecta dependencia no lineal en los residuos de un modelo ARIMA lineal. Si los residuos tienen estructura no lineal, el modelo lineal es inadecuado.
Test de Hansen (1992, 1996): Para modelos de umbral. Prueba H₀: no hay efecto umbral vs H₁: TAR(k). Usa bootstrap porque el parámetro umbral no está identificado bajo H₀.
Peligro común: Los tests de no linealidad pueden detectar no linealidades "falsas" causadas por outliers, heterocedasticidad o cambios estructurales. Siempre limpia los datos primero.
🔮 NLR (Nonlinear IRF)
Las IRF en modelos no lineales dependen del tamaño y signo del shock (no son simétricas como en VAR lineal). Se calculan por simulación: aplican un shock positivo y negativo desde un mismo estado inicial y promedian las diferencias. Pueden mostrar histéresis: el efecto de un shock depende del régimen.
📈 Smooth Transition VAR (STVAR)
Extiende STAR a sistema multivariante. Todas las ecuaciones cambian suavemente según una variable de transición común. Útil para modelar efectos no lineales de la política monetaria: el efecto de subir tasas puede ser diferente en expansión vs. recesión.
Genera una serie con dos regímenes. Observa cómo cambia la dinámica.
Elige K=2 regímenes (expansión y recesión). Para el PIB trimestral, un MS(2)-AR(2) es suficiente: yₜ = μ(sₜ) + φ₁(sₜ)·(yₜ₋₁ - μ(sₜ₋₁)) + φ₂(sₜ)·(yₜ₋₂ - μ(sₜ₋₂)) + σ(sₜ)·εₜ. Cada régimen tiene su propia media μ, persistencia φ y volatilidad σ.
Se estiman p₁₁ = P(sₜ=1 | sₜ₋₁=1) y p₂₂ = P(sₜ=2 | sₜ₋₁=2). Típicamente, las recesiones son menos persistentes que las expansiones. Ejemplo: p₁₁=0.95, p₂₂=0.75. Esto significa que si estás en expansión, la probabilidad de seguir en expansión es 95%; en recesión, solo 75% (las recesiones duran menos).
Las probabilidades filtradas P(sₜ|y₁,...,yₜ) se calculan iterativamente. En expansión típica, P(sₜ=expansión) > 0.99. Al inicio de una recesión, la probabilidad de expansión cae abruptamente. Las probabilidades suavizadas P(sₜ|y₁,...,y_T) usan toda la muestra y son más precisas.
Una recesión se identifica cuando P(sₜ=recesión|F_T) > 0.5. Las fechas de ciclo se construyen como la secuencia de períodos donde la probabilidad de recesión supera 0.5. Hamilton (1989) encontró que las fechas MS coinciden casi perfectamente con las recesiones NBER.