Función de Supervivencia S(t) y Hazard h(t)
S(t) = P(T > t) es la probabilidad de sobrevivir más allá del tiempo t. h(t) = f(t)/S(t) es la tasa instantánea de fallo en t, condicional a haber sobrevivido hasta t. Se relacionan: S(t) = exp(-∫h(u)du).
La hazard puede ser constante (riesgo no cambia con el tiempo), creciente (envejecimiento) o decreciente (aprendizaje). La forma de la hazard revela la dinámica del riesgo subyacente.
Censura
No siempre observamos el evento para todos. Censura por la derecha: el estudio termina antes del evento (ej: paciente sigue vivo al final). Censura por la izquierda: el evento ocurrió antes de empezar a observar.
La gran ventaja de los modelos de duración es que incorporan observaciones censuradas correctamente. Ignorar la censura sesga los resultados hacia abajo (subestimas la duración).
Kaplan-Meier (No paramétrico)
Estimador producto-límite: Ŝ(t) = Π_{tᵢ ≤ t} (1 - dᵢ/nᵢ). En cada tiempo de evento tᵢ, dᵢ son los eventos y nᵢ los individuos en riesgo. Es la forma más simple y transparente de estimar la supervivencia.
Se visualiza con curvas escalonadas. Permite comparar grupos (ej: tratado vs control) visualmente y con el test de log-rank.
Cox Proportional Hazard (Semiparamétrico)
h(t|X) = h₀(t)exp(Xβ). La hazard baseline h₀(t) es no paramétrica (no se estima), mientras que los coeficientes β son paramétricos. Supuesto clave: los hazards de dos individuos son proporcionales (el ratio no depende de t).
La interpretación es exp(β) = hazard ratio. Si exp(β_cirugía) = 0.5, la cirugía reduce el riesgo de muerte a la mitad en cualquier momento del seguimiento. Se estima por máxima verosimilitud parcial.
Weibull y Modelos Paramétricos
Weibull: h(t) = λpt^{p-1}. Si p > 1, hazard creciente (envejecimiento); p < 1, decreciente; p = 1, constante (exponencial). Permite estimar la forma de la hazard directamente.
Otros modelos: Log-normal (hazard no monótona, crece y luego decrece), Log-logística, Gompertz. La elección depende del patrón esperado de la hazard y del ajuste estadístico (AIC/BIC).
AFT (Accelerated Failure Time)
log(T) = Xβ + σε. Modela directamente el log del tiempo de supervivencia como función lineal de las covariables. Los coeficientes se interpretan como factores de aceleración/desaceleración del tiempo.
A diferencia de Cox donde X multiplica la hazard, en AFT X acelera (o desacelera) el tiempo. Si exp(β) = 0.8 para un tratamiento, significa que acelera el evento (reduce el tiempo de supervivencia en 20%).
Ejemplo paso a paso: Supervivencia de pacientes con cáncer
Estudiamos el tiempo hasta la muerte (o recaída) en pacientes con un tipo de cáncer. Comparamos dos grupos: quimioterapia vs quimio + nuevo fármaco.
Para cada grupo, ordenamos los tiempos de muerte. En cada tiempo t donde ocurre al menos una muerte, calculamos la probabilidad de sobrevivir: Ŝ(t) = Π (1 - dᵢ/nᵢ). Los pacientes que siguen vivos al final del estudio se censuran (contribuyen al denominador hasta su último seguimiento).
Las curvas KM se grafican como escalones descendentes. Si la curva del grupo tratado está consistentemente por encima del control, el tratamiento prolonga la supervivencia. El test de log-rank prueba si las diferencias son estadísticamente significativas.
Modelamos: h(t|tratamiento, edad) = h₀(t)·exp(β₁·tratamiento + β₂·edad). Supongamos que obtenemos β₁ = -0.8, exp(β₁) = 0.45. Esto significa que el nuevo fármaco reduce el riesgo de muerte en 55% (1 - 0.45) en cualquier momento.
El supuesto clave de Cox es que el hazard ratio entre grupos es constante en el tiempo. Se verifica con: (a) prueba basada en residuos de Schoenfeld (p > 0.05 no rechaza proporcionalidad), (b) graficar log(-log(Ŝ(t))) vs log(t): si las curvas son paralelas, el supuesto se cumple.
Controla la forma de la hazard baseline. Genera dos grupos y compara Kaplan-Meier vs Cox.