Multinomial Logit (MNL) Básico
La probabilidad de elegir la alternativa j es P(y=j) = exp(xβ_j) / Σₖ exp(xβ_k). Los errores siguen una distribución Gumbel (valor extremo tipo I). Cada alternativa tiene su propio vector de coeficientes β_j.
Se estima por máxima verosimilitud. Una categorÃa de referencia (ej: j=0) tiene coeficientes normalizados a cero. Los coeficientes se interpretan en términos de odds ratios relativos a la categorÃa base.
IIA: Independencia de Alternativas Irrelevantes
P(y=j)/P(y=k) = exp(xβ_j)/exp(xβ_k) no depende de otras alternativas. Esto implica que la probabilidad relativa entre dos opciones es constante al añadir/eliminar otras alternativas. En muchos contextos esto no es realista.
Ejemplo clásico: si la probabilidad de ir en auto vs bus rojo es 50-50, al añadir un bus azul, el MNL predice auto: 50%, bus rojo: 25%, bus azul: 25%. La realidad serÃa auto: 33%, cada bus: 33% porque los buses son sustitutos cercanos.
Test de Hausman-McFadden para IIA
Si IIA se cumple, estimar el modelo con todas las alternativas y con un subconjunto debe dar coeficientes similares. El test de Hausman compara ambos estimadores. Si χ² es grande, se rechaza IIA.
En la práctica, el test tiene poco poder con muestras pequeñas. Se recomienda también el test de Small-Hsiao y, sobre todo, usar modelos que relajen IIA (nested, mixed) cuando la teorÃa sugiere alternativas cercanas.
Nested Logit
Agrupa alternativas similares en nidos (nests). Dentro del nido, las alternativas pueden estar correlacionadas. Parámetro de dissimilaridad λₘ: si λₘ = 1, no hay correlación (equivale a MNL). Si λₘ → 0, la correlación es perfecta.
Estructura tÃpica: primer nivel elige entre "motorizado" y "no motorizado"; segundo nivel, dentro de motorizado elige auto o bus; dentro de no motorizado elige bici o caminar. La estructura de nidos debe basarse en teorÃa económica.
Mixed Logit (Random Coefficients)
Los coeficientes varÃan entre individuos: βᵢ ~ f(β|θ). Por ejemplo, β_educación puede distribuirse normal(μ, σ²) en la población. Captura heterogeneidad no observada en preferencias. No tiene IIA.
Se estima por simulación (Halton draws o Sobol sequences). Requiere más datos que MNL. La interpretación: efecto promedio y desviación estándar del efecto. Si σ es grande, hay mucha heterogeneidad en la respuesta al atributo.
Multinomial Probit y Efectos Marginales
Multinomial Probit usa errores normales multivariados. Permite cualquier patrón de correlación entre alternativas. Es más flexible computacionalmente intensivo (integrales de alta dimensión).
Efectos marginales en MNL: ∂P(y=j)/∂xₖ = P(j)[βₖⱼ - Σₘ P(m)βₖₘ]. El efecto de una variable xₖ en la probabilidad de j depende del valor de xₖ, de todas las probabilidades y de todos los coeficientes de xₖ. No es constante ni igual al coeficiente.
Ejemplo paso a paso: Elección de medio de transporte
Modelamos cómo eligen las personas entre auto, bus y bicicleta para ir al trabajo. Covariables: tiempo de viaje, costo, distancia, ingreso.
Fijamos "bicicleta" como categorÃa base (β_bici = 0). Estimamos β_auto y β_bus para cada covariable. El coeficiente de tiempo en auto, β_tiempo_auto = -0.3, significa que a mayor tiempo en auto, menor probabilidad de elegir auto vs bicicleta.
Estimamos el modelo sin la alternativa "bus". Si los coeficientes de auto (β_auto) cambian mucho, se rechaza IIA (los buses y autos son sustitutos cercanos). Hausman-McFadden darÃa χ² grande → usamos nested logit.
Creamos un nido con {auto, bus} y otro con {bici}. Estimamos λ para el nido motorizado. Si λ = 0.4, hay correlación significativa dentro del nido. La probabilidad de elegir auto condicional a motorizado se vuelve más realista.
∂P(auto)/∂tiempo_auto = P(auto)[β_tiempo_auto - (P(auto)·β_tiempo_auto + P(bus)·β_tiempo_bus + P(bici)·0)]. Si P(auto)=0.4, el efecto marginal del tiempo en la probabilidad de elegir auto no es simplemente β_tiempo_auto, sino que depende de todas las alternativas.
Agrega o elimina alternativas de transporte. Observa cómo cambian las probabilidades bajo MNL.