Primera Ley de Tobler y Dependencia Espacial
"Everything is related to everything else, but near things are more related than distant things." La dependencia espacial significa que las observaciones en ubicaciones cercanas tienden a tener valores similares.
Ignorar la dependencia espacial es como ignorar la correlación serial en series de tiempo: los errores estándar OLS son incorrectos y los coeficientes pueden ser sesgados si hay rezagos espaciales de la variable dependiente.
Matriz de Pesos Espaciales W
W es una matriz N×N donde wᵢⱼ > 0 si las ubicaciones i y j son vecinas, y wᵢⱼ = 0 en caso contrario (incluyendo wᵢᵢ = 0). Tipos comunes: contigüidad (frontera compartida), distancia inversa (1/dᵢⱼ), K-nearest neighbors.
La matriz se estandariza por filas (cada fila suma 1) para que Wy sea el promedio de los vecinos. La elección de W es crucial y debe basarse en teoría (¿qué define "vecino" en tu contexto?).
Moran's I (Test de Autocorrelación Espacial)
I = (N/S₀)·(z'Wz)/(z'z) donde z son los residuales o la variable en desviaciones de la media. I > 0 indica clustering espacial (valores similares cercanos), I < 0 indica dispersión (valores opuestos cercanos).
Se testea contra la hipótesis nula de no autocorrelación espacial. Es el equivalente espacial del test de Durbin-Watson. Un I significativo justifica el uso de modelos espaciales.
Spatial Lag Model (SAR)
y = ρWy + Xβ + ε. Incluye el rezago espacial de y (Wy). ρ mide la fuerza de la interdependencia: cuánto afecta el valor promedio de los vecinos al valor de i. Si ρ = 0, no hay interdependencia.
La interpretación es rica: el efecto de un cambio en Xⱼ se propaga a través de la red (spillovers). El efecto total = efecto directo (β) + efecto indirecto (ρ·W·β·(I-ρW)⁻¹). Se estima por máxima verosimilitud (OLS es sesgado e inconsistente por la simultaneidad de Wy).
Spatial Error Model (SEM) y SDM
SEM: y = Xβ + ε, ε = λWε + ν. La correlación espacial está en los errores, no en y. λ mide la autocorrelación de los errores. OLS es consistente pero los errores estándar son incorrectos si λ ≠ 0.
SDM (Spatial Durbin Model): y = ρWy + Xβ + WXθ + ε. Incluye rezagos de las X (WX). Permite que las características de los vecinos afecten a y más allá del efecto de y mismo. Es el modelo espacial más general y flexible.
Efectos Directos, Indirectos y Totales
En modelos SAR/SDM, el efecto de un cambio en Xₖ en la ubicación i no es simplemente βₖ. Efecto directo: βₖ (impacto en la misma ubicación) + ajuste por retroalimentación espacial (ρ·W·...). Efecto indirecto (spillover): impacto en otras ubicaciones vía la red espacial.
Se reportan los efectos promedio: promedio de la diagonal de (I-ρW)⁻¹·βₖ (directo) y promedio de las filas fuera de la diagonal (indirecto). La suma es el efecto total. Esta descomposición es clave para la interpretación económica.
Ejemplo paso a paso: Precios de viviendas en barrios vecinos
Modelamos el precio de viviendas usando datos de 50 barrios. Sospechamos que los precios en barrios vecinos están correlacionados.
Identificamos qué barrios comparten frontera. wᵢⱼ = 1 si i y j son vecinos, 0 si no. Estandarizamos por filas: cada wᵢⱼ se divide por el número de vecinos de i. Ahora Wyᵢ es el precio promedio de los barrios vecinos a i.
Estimamos OLS: precio = f(m², habitaciones, distancia centro). Calculamos los residuales y aplicamos Moran's I. Obtenemos I = 0.32, p-valor = 0.01. Rechazamos la hipótesis nula de no autocorrelación espacial → necesitamos modelo espacial.
y = ρWy + Xβ + ε. ρ estimado = 0.45 (significativo). Esto significa que si el precio promedio de los vecinos aumenta en 1%, el precio local aumenta en 0.45%, manteniendo X constante. El efecto total del tamaño (m²) incluye el efecto en el propio barrio más el efecto en barrios vecinos.
Efecto directo de m²: β₁ = 150 (construir 1m² más aumenta el precio local en $150). Efecto indirecto (spillover): si todos los barrios construyen 1m² más, el efecto en cada barrio vía la red es adicional. El efecto total sería β₁ / (1 - ρ) = 150 / 0.55 ≈ $273. ¡Ignorar el spillover subestima el efecto total!
Controla ρ (autocorrelación espacial). Observa el mapa de valores y la comparación OLS vs SAR.