📐 Teorema de Sklar
F(x₁, ..., xd) = C(F₁(x₁), ..., Fd(xd)). Intuición: El Teorema de Sklar es el resultado fundamental de las cópulas. Dice que cualquier distribución conjunta se puede descomponer en: (1) las distribuciones marginales Fᵢ(xᵢ) de cada variable individual, y (2) una cópula C(u₁, ..., ud) que captura cómo se relacionan las variables. La cópula es la distribución conjunta de las probabilidades uniformes uᵢ = Fᵢ(xᵢ). Esto es poderoso: puedes modelar las marginales por separado (usando GARCH, t-Student, etc.) y luego elegir una cópula que se ajuste a la estructura de dependencia. La cópula es única si las marginales son continuas.
🔍 Cópulas Clásicas
Gaussiana: Cρ(u,v). t-Student: Cρ,ν(u,v). Clayton: Cθ(u,v) = max(u⁻θ + v⁻θ - 1, 0)⁻¹/θ. Intuición: La cópula Gaussiana es la más simple (derivada de la normal bivariada) pero no tiene dependencia de colas: en los extremos, las variables son independientes. La t-Student tiene dependencia simétrica en ambas colas (subidas y caídas). Clayton tiene dependencia solo en la cola inferior (caídas): cuando un activo cae fuerte, el otro tiende a caer también. Gumbel tiene dependencia en la cola superior (subidas). En finanzas, la Clayton se usa para modelar el contagio en crisis, y la t-Student para portafolios diversificados.
📊 Dependencia de Colas
λᵤ = lim P[U > u | V > u] cuando u→1. λₗ = lim P[U < u | V < u] cuando u→0. Intuición: La dependencia de colas (tail dependence) mide la probabilidad de que ambas variables estén en el extremo simultáneamente. λᵤ es la probabilidad de que ambas estén en su cola superior (extremo positivo) condicional a que una lo esté. λₗ es para la cola inferior (extremo negativo). Para la Gaussiana, λᵤ = λₗ = 0 (no hay dependencia en colas, por muy correlacionadas que estén en el centro). Para la t-Student, λᵤ = λₗ > 0. Para Clayton, λₗ > 0 y λᵤ = 0. Esto es crucial en riesgo de portafolio: la dependencia en caídas es la que importa para el riesgo sistémico.
🔄 Estimación: IFM
IFM (Inference Functions for Margins) estima en dos etapas: (1) estima cada marginal por separado, (2) estima la cópula con los pseudo-observaciones. Intuición: IFM es el método de estimación más práctico. Paso 1: para cada activo, ajusta un modelo GARCH o ARMA-GARCH a sus retornos, y obtén los residuales estandarizados. Aplica la CDF empírica para transformarlos a uniformes (0,1). Paso 2: estas uniformes son las pseudo-observaciones uᵢ = F̂(rᵢ). Estima la cópula maximizando la log-verosimilitud de las pseudo-observaciones. IFM es menos eficiente que MLE conjunto pero mucho más manejable, especialmente con muchas dimensiones.
📏 Simulación con Cópulas
Para simular desde una cópula: (1) genera uniformes correlacionadas, (2) transforma con CDF inversa de cada marginal. Intuición: El proceso de simulación es: (1) genera un par (u, v) de la cópula deseada (ej. para Gaussiana: genera normales correlacionadas y aplica CDF normal). (2) Transforma a retornos usando la marginal inversa: r₁ = F₁⁻¹(u), r₂ = F₂⁻¹(v). Si las marginales son t-Student con 4 gl, los retornos tendrán colas pesadas. Si la cópula es Clayton, los retornos mostrarán más dependencia en caídas que en subidas. Esto permite generar escenarios realistas para stress testing.
📈 Aplicaciones de Cópulas
Las cópulas se usan en riesgo de portafolio (VaR multidimensional), titulización (CDOs), y calibración de riesgos de crédito. Intuición: En riesgo de portafolio, la correlación de Pearson subestima el riesgo cuando las colas son asimétricas. Con cópulas, puedes calcular VaR de un portafolio de 2+ activos capturando la dependencia en caídas. En CDOs (Collateralized Debt Obligations), las cópulas Gaussianas se usaban antes de 2008 para modelar defaults correlacionados — pero fallaron porque no capturaban la dependencia de colas en crisis. La crisis de 2008 mostró que las cópulas t-Student o Clayton son más realistas. Hoy, Basilea III recomienda el uso de cópulas para el cálculo de capital regulatorio en portafolios de crédito.
Simula 500 puntos desde diferentes cópulas y observa la diferencia en colas.
Retornos diarios de Bitcoin y Ethereum, 2023-2024.
Ajustamos GARCH(1,1) a cada serie por separado. Para Bitcoin: μ = 0.0018, ω = 0.00002, α = 0.12, β = 0.85. Para Ethereum: μ = 0.0015, ω = 0.00003, α = 0.10, β = 0.87. Obtenemos residuales estandarizados ε̂ᵦₜ y ε̂ₑₜ. Transformamos a uniformes: uₜ = F̂(ε̂ᵦₜ), vₜ = F̂(ε̂ₑₜ) usando la CDF empírica.
Maximizamos la log-verosimilitud de Clayton: L(θ) = Σ [ln(1+θ) - (1+θ)ln(uᵢ) - (1+θ)ln(vᵢ) - (2+1/θ)ln(uᵢ⁻θ + vᵢ⁻θ - 1)]. Resultado: θ̂ = 2.3. Para Clayton, θ > 0 indica dependencia positiva. θ = 2.3 es una dependencia moderadamente fuerte. La correlación de Kendall asociada es τ = θ/(θ+2) = 2.3/4.3 = 0.53.
Para Clayton, λₗ = 2⁻¹/θ = 2⁻¹/²·³ = 2⁻⁰·⁴³ = 0.74. Esto significa que si Bitcoin tiene una caída extrema (percentil 1%), hay un 74% de probabilidad de que Ethereum también esté en su percentil 1%. λᵤ = 0 (sin dependencia en subidas extremas). Esto tiene sentido: las criptomonedas tienden a caer juntas en crisis, pero pueden subir de forma más independiente.
Portafolio 50% BTC, 50% ETH. Bajo normal bivariada: VaR₉₅% = 3.2%. Con cópula Clayton: VaR₉₅% = 4.1% (28% más alto). La diferencia se debe a que la Clayton captura la dependencia en caídas que la correlación de Pearson subestima. El Expected Shortfall es aún más sensible: 5.8% vs 4.5% bajo normal. Esto muestra la importancia de modelar la dependencia de colas correctamente.