📐 GEV: Block Maxima
GEV(Mₙ) = exp[-(1 + ξ(z-μ)/σ)⁻¹/ξ] para bloques de tamaño n. Intuición: El enfoque de block maxima divide la serie en bloques (ej. trimestres o años) y toma el máximo (mínimo) de cada bloque. Según el Teorema de Fisher-Tippett, estos máximos siguen una distribución GEV con tres parámetros: μ (ubicación), σ (escala), ξ (forma). El parámetro ξ es crucial: ξ=0 da Gumbel (colas ligeras), ξ>0 da Fréchet (colas pesadas como finanzas), ξ<0 da Weibull (colas acotadas). Para retornos financieros, típicamente ξ ≈ 0.2-0.4 (Fréchet), indicando colas extremadamente pesadas.
🔍 GPD: Peaks Over Threshold
GPD(y) = 1 - (1 + ξy/σ̃)⁻¹/ξ, donde y = X - u para excesos sobre umbral u. Intuición: POT (Peaks Over Threshold) es más eficiente que block maxima porque usa más datos: en vez de tomar solo el máximo de cada bloque, toma todas las observaciones que superan un umbral u. La GPD tiene solo dos parámetros: ξ (forma, mismo que GEV) y σ̃ (escala). La elección del umbral u es crítica: muy bajo y entran datos no extremos (sesgo), muy alto y hay pocos datos (varianza alta). En la práctica, se elige u entre el 90-95 percentil de los datos, o se usa el gráfico de media de excesos (mean excess plot) para identificar el punto donde la media se vuelve lineal.
📊 VaR y ES con EVT
VaRₚ = u + σ̃/ξ × [(n/Nᵤ(1-p))⁻ξ - 1]. ESₚ = VaRₚ/(1-ξ) + (σ̃ - ξu)/(1-ξ). Intuición: Con los parámetros GPD estimados, podemos calcular VaR y Expected Shortfall para niveles extremos (99%, 99.9%). En la fórmula de VaR, n es el total de datos, Nᵤ el número de excesos sobre u. ES es peor que VaR: mientras VaR dice "pérdida máxima con 99% confianza", ES dice "pérdida promedio si se supera VaR". Para ξ > 0, ES > VaR, reflejando que las colas son tan pesadas que el promedio de las pérdidas extremas es mucho mayor que el cuantil. Para el S&P 500, VaR₉₉% con EVT es ~2.5% vs ~2% con normal — el ES₉₉% es ~3.5%.
🔄 Estimación: Hill Estimator
ξ̂(Hill) = (1/k) × Σᵢ₌₁ᵏ ln(X₍ᵢ₎/X₍ₖ₊₁₎), con X ordenados descendientes. Intuición: El Hill estimator estima ξ usando los k valores más extremos. Es simple: ordena las pérdidas de mayor a menor, y calcula el promedio de los logaritmos de las k mayores divididas por la (k+1)-ésima. La elección de k es crítica (trade-off sesgo-varianza). El gráfico de Hill (ξ vs k) ayuda a elegir: busca una región donde ξ se estabilice. Para datos financieros, ξ ~ 0.3-0.5. Para datos normales, ξ = 0. Para datos con colas muy pesadas (ej. criptomonedas), ξ > 0.5. Un ξ > 1 indica que la varianza es infinita (caso extremo).
📏 Diagnóstico: QQ-plot Exponencial
Gráfico de cuantiles de los excesos vs distribución exponencial (ξ=0). Intuición: Si los excesos sobre el umbral siguen una GPD con ξ=0 (caso exponencial), el QQ-plot es diagonal. Si los puntos se curvan hacia arriba (superlineal), ξ > 0 (colas pesadas). Si se curvan hacia abajo (sublineal), ξ < 0 (colas ligeras). Este gráfico es una herramienta diagnóstica rápida para decidir si EVT es apropiada. Para retornos financieros, casi siempre ves curvatura hacia arriba, confirmando que EVT con ξ > 0 es necesario. También se usa el gráfico de media de excesos: E[X - u | X > u] vs u; si es lineal con pendiente positiva, ξ > 0.
📈 Aplicaciones de EVT
EVT se usa en gestión de riesgos (Basilea III), stress testing, y calibración de colaterales en derivados. Intuición: Basilea III requiere que los bancos calculen VaR 99% a 10 días con datos de al menos 1 año. Con EVT, los bancos obtienen estimaciones más precisas y menos propensas a subestimar el riesgo en periodos de crisis. En stress testing, EVT se usa para calibrar escenarios extremos: ¿cuánto perdería el portafolio si ocurre un evento de 1 en 1000 días? La GPD da una respuesta basada en datos, no en supuestos normales. Para colaterales en derivados OTC, EVT ayuda a calcular el initial margin con una precisión que reduce requerimientos de capital sin aumentar el riesgo.
Genera retornos con colas pesadas (t-Student) y estima el parámetro de forma ξ de la GPD.
Usamos 500 retornos diarios del S&P 500, umbral en el percentil 93% (u = 1.8%).
Umbral u = 1.8% (pérdida mínima para ser "extremo"). De 500 días, Nᵤ = 35 excesos (el 7% de los datos). Los excesos y = X - u son: 0.3%, 0.8%, 1.2%, 0.5%, ..., con valores entre 0% y 4.5%. La media de excesos es 1.1%. Si la media de excesos es lineal con pendiente positiva, confirmamos ξ > 0.
Maximizamos la log-verosimilitud de la GPD: L(ξ, σ̃) = -Nᵤ log(σ̃) - (1 + 1/ξ) × Σ log(1 + ξyᵢ/σ̃). Resultados: ξ̂ = 0.28, σ̃ = 0.012. ξ̂ > 0 confirma colas Fréchet (pesadas). El error estándar de ξ̂ es ~0.08, así que ξ es significativamente mayor que 0 (z = 0.28/0.08 = 3.5).
VaR₉₉% = u + σ̃/ξ × [(n/Nᵤ(1-0.99))⁻ξ - 1] = 0.018 + 0.012/0.28 × [(500/35 × 0.01)⁻⁰·²⁸ - 1] = 0.018 + 0.0429 × [(14.29)⁻⁰·²⁸ - 1] = 0.018 + 0.0429 × [0.47 - 1] = 0.018 + 0.0429 × (-0.53) = ... Cuidado con el signo. Calculamos: (500/35 × 0.01) = 0.1429. 0.1429⁻⁰·²⁸ = exp(-0.28 × ln(0.1429)) = exp(-0.28 × (-1.945)) = exp(0.5446) = 1.724. VaR = 0.018 + 0.012/0.28 × (1.724 - 1) = 0.018 + 0.0429 × 0.724 = 0.018 + 0.031 = 0.049 = 4.9%.
ES₉₉% = VaR/(1-ξ) + (σ̃ - ξu)/(1-ξ) = 4.9%/(0.72) + (0.012 - 0.28×0.018)/(0.72) = 6.8% + (0.012 - 0.005)/0.72 = 6.8% + 0.0097 = 7.8%. Bajo normal: VaR₉₉% = 2.33σ ≈ 2.33×1.8% = 4.2%. EVT da VaR 4.9% (16% más alto) y ES 7.8% (mucho peor que VaR). Esto muestra que la normal subestima el riesgo extremo.