Distribuciones Discretas
🪙 Bernoulli(p)
Un solo ensayo con probabilidad p de éxito. X ~ Ber(p). P(X=1)=p, P(X=0)=1-p.
P(X=x) = p^x (1-p)^(1-x)
📊 Binomial(n, p)
Suma de n Bernoulli independientes. X ~ Bin(n,p). Número de éxitos en n ensayos.
P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)
📞 Poisson(λ)
Eventos raros en intervalo fijo. X ~ Poi(λ). Llamadas, accidentes, llegadas.
P(X=k) = e^(-λ) λ^k / k!
🔄 Geométrica(p)
Número de ensayos hasta el primer éxito. X ~ Geo(p).
P(X=k) = (1-p)^(k-1) p
Explicacion Detallada
Intuicion
Una variable aleatoria discreta asigna numeros a resultados de un experimento. Piensa en el numero de caras al lanzar 3 monedas: puede ser 0, 1, 2 o 3. La funcion de probabilidad P(X=k) dice que tan probable es cada valor.
Formula clave: Distribucion Binomial
X ~ Bin(n, p): P(X=k) = C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k). C(n,k) = n!/(k!(n-k)!). Media: np, Varianza: np(1-p). Modela numero de exitos en n ensayos independientes.
Paso a paso: Calcular P(X=k) para Binomial
1) Identifica n y p. 2) Calcula C(n,k). 3) Calcula p^k. 4) Calcula (1-p)^(n-k). 5) Multiplica. Ej: X~Bin(5,0.3), P(X=2)=C(5,2)(0.3)^2(0.7)^3=10*0.09*0.343=0.309.
Error comun: Aplicar Poisson cuando no es adecuado
Poisson requiere eventos raros, independientes y tasa constante. Si hay maximo o dependencia, usa Binomial.
Ejemplo concreto
Call center recibe 10 llamadas/hora (Poisson). P(X=5) = e^(-10)*10^5/5! = 0.0378. ~3.8% de probabilidad.
Conexion
Variables discretas son puente hacia continuas (Modulo 5). Binomial se aproxima a Normal cuando n es grande (TCL).
Ejemplo paso a paso: Probabilidad Binomial
Problema: Un examen tiene 10 preguntas con 4 opciones cada una. Si respondes al azar, cual es P(acertar exactamente 3)? Y al menos 5?
Paso 1: Identifica distribucion
X~Bin(n=10, p=0.25). n=10 preguntas, p=0.25 acierto al azar.
Paso 2: Calcula P(X=3)
P(X=3)=C(10,3)*(0.25)^3*(0.75)^7=120*0.0156*0.1335=0.2503=25%.
Paso 3: Calcula P(X>=5)
Sumamos P(X=5) a P(X=10).
Paso 4: Resultados
P(X=5)=0.058, P(X=6)=0.016, P(X=7)=0.003, P(X=8)=0.0004, P(X=9)=0.00003, P(X=10)=0.000001.
Paso 5: Final
P(X>=5)=0.0781=7.81%. Solo ~8% de acertar 5+ al azar.
Explicacion Detallada
Intuicion
Una variable aleatoria discreta asigna numeros a resultados de un experimento. Piensa en el numero de caras al lanzar 3 monedas: puede ser 0, 1, 2 o 3. La funcion de probabilidad P(X=k) dice que tan probable es cada valor.
Formula clave: Distribucion Binomial
X ~ Bin(n, p): P(X=k) = C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k). C(n,k) = n!/(k!(n-k)!). Media: np, Varianza: np(1-p). Modela numero de exitos en n ensayos independientes.
Paso a paso: Calcular P(X=k) para Binomial
1) Identifica n y p. 2) Calcula C(n,k). 3) Calcula p^k. 4) Calcula (1-p)^(n-k). 5) Multiplica. Ej: X~Bin(5,0.3), P(X=2)=C(5,2)(0.3)^2(0.7)^3=10*0.09*0.343=0.309.
Error comun: Aplicar Poisson cuando no es adecuado
Poisson requiere eventos raros, independientes y tasa constante. Si hay maximo o dependencia, usa Binomial.
Ejemplo concreto
Call center recibe 10 llamadas/hora (Poisson). P(X=5) = e^(-10)*10^5/5! = 0.0378. ~3.8% de probabilidad.
Conexion
Variables discretas son puente hacia continuas (Modulo 5). Binomial se aproxima a Normal cuando n es grande (TCL).
Ejemplo paso a paso: Probabilidad Binomial
Problema: Un examen tiene 10 preguntas con 4 opciones cada una. Si respondes al azar, cual es P(acertar exactamente 3)? Y al menos 5?
Paso 1: Identifica distribucion
X~Bin(n=10, p=0.25). n=10 preguntas, p=0.25 acierto al azar.
Paso 2: Calcula P(X=3)
P(X=3)=C(10,3)*(0.25)^3*(0.75)^7=120*0.0156*0.1335=0.2503=25%.
Paso 3: Calcula P(X>=5)
Sumamos P(X=5) a P(X=10).
Paso 4: Resultados
P(X=5)=0.058, P(X=6)=0.016, P(X=7)=0.003, P(X=8)=0.0004, P(X=9)=0.00003, P(X=10)=0.000001.
Paso 5: Final
P(X>=5)=0.0781=7.81%. Solo ~8% de acertar 5+ al azar.