📐 Definición
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0. Se lee "probabilidad de A dado que ocurrió B".
🔄 Regla del Producto
P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B) = P(B|A) · P(A). Útil para calcular intersecciones.
📊 Probabilidad Total
Si B₁, B₂, ..., Bₙ son una partición de Ω, entonces P(A) = ∑ P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ).
🔄 Independencia
A y B son independientes si P(A|B) = P(A) o equivalentemente P(A∩B) = P(A)·P(B).
Actualiza la probabilidad de una causa (B) al observar un efecto (A). Revolucionó la estadística, la inteligencia artificial y la medicina.
| Evento | Probabilidad | Descripción |
|---|---|---|
| P(Enfermedad) | 0.01 | Prevalencia de la enfermedad |
| P(Pos|Enf) | 0.95 | Sensibilidad de la prueba |
| P(Pos|Sano) | 0.05 | Tasa de falsos positivos |
| P(Enf|Pos) | ? | Valor predictivo positivo |
Problema: Una enfermedad afecta al 1% de la poblacion. Un test detecta 99% de casos y da 5% de falsos positivos. Si alguien da positivo, cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad?
E=enfermedad, T+=test+. P(E)=0.01, P(T+|E)=0.99, P(T+|Ec)=0.05.
P(T+)=0.99*0.01+0.05*0.99=0.0099+0.0495=0.0594.
P(E|T+)=0.0099/0.0594=0.1667=16.67%.
Solo hay ~16.7% de probabilidad de tener la enfermedad pese al positivo.
Resultado contra-intuitivo porque la enfermedad es rara. Si P(E)=10%, P(E|T+)=68.75%.
Intuicion
La probabilidad condicional responde a: 'dado que sabemos que ocurrio B, como cambia la probabilidad de A?' Es como actualizar tu pronostico cuando obtienes nueva informacion meteorologica.
Formula clave: Probabilidad condicional
P(A|B) = P(AnB)/P(B), con P(B) > 0. Regla del producto: P(AnB) = P(A)*P(B|A). El orden importa: P(A|B) != P(B|A) generalmente.
Paso a paso: Teorema de Bayes
1) Identifica eventos A1, A2,... que forman una particion. 2) Establece P(Ai) (prioris). 3) Establece P(B|Ai) (verosimilitudes). 4) Calcula P(B) = sum(P(B|Ai)*P(Ai)). 5) Aplica Bayes: P(Ai|B) = P(B|Ai)*P(Ai)/P(B).
Error comun: Ignorar la probabilidad base
La falacia de la probabilidad base ocurre cuando ignoramos P(A). Ejemplo: si una enfermedad afecta a 1/1000 y un test es 99% preciso, P(enfermedad|positivo) no es 99% sino ~9%.
Ejemplo concreto
Dos maquinas producen chips: A1 produce 60% (1% defectuosos) y A2 produce 40% (2% defectuosos). Si encontramos uno defectuoso: P(A1|D) = (0.01*0.6)/(0.01*0.6+0.02*0.4) = 0.429.
Conexion
Bayes es fundamental en ML (naive Bayes), inferencia estadistica, y actualizacion de creencias.