Esperanza (Valor Esperado)
📐 Definición: Caso Discreto
E[X] = ∑ x · P(X=x). Suma ponderada de todos los valores posibles por su probabilidad.
E[X] = ∑ x · p(x)
📐 Definición: Caso Continuo
E[X] = ∫ x · f(x) dx. Integral de x por la función de densidad.
E[X] = ∫ x f(x) dx
📏 Propiedades de E[·]
Linealidad: E[aX + b] = aE[X] + b. E[X + Y] = E[X] + E[Y].
E[aX+b] = aE[X] + b
⚖️ Esperanza de función
E[g(X)] = ∑ g(x) · p(x) en discreto; = ∫ g(x) f(x) dx en continuo.
Varianza y Desviación
Varianza
Var(X) = E[(X-μ)²]
Var(X) = E[X²] - (E[X])²
Desviación Estándar
σ = √Var(X)
Misma unidad que X. Más interpretable.
Propiedades de Var
Var(aX+b) = a²Var(X)
La constante no afecta la dispersión.
Desigualdad Chebyshev
P(|X-μ|≥kσ) ≤ 1/k²
Para cualquier distribución con varianza finita.
Calculadora de Momentos
Ingresa un conjunto de datos y calcula media, varianza y desviación.
Presiona "Calcular" para ver los momentos.
Mini Quiz: Esperanza y Varianza