📊 Distribución de β̂
Bajo los supuestos clásicos (errores normales e independientes), el estimador MCO β̂ tiene distribución normal multivariada. Su media es el verdadero β y su matriz de varianza-covarianza es σ²(X'X)⁻¹. Esto nos permite hacer inferencia estadística.
📐 t-test
Prueba si un coeficiente individual es estadísticamente diferente de cero (u otro valor). El estadístico t = (β̂ - β₀)/se(β̂) sigue una distribución t de Student con n-k grados de libertad. Si |t| > t(crítico), rechazamos H₀.
📏 F-test
Prueba restricciones múltiples sobre los coeficientes simultáneamente (ej: H₀: β₁=β₂=0). Compara la suma de residuos del modelo restringido (RSSr) con la del modelo no restringido (RSSu). Un F grande sugiere que las restricciones no se cumplen.
📈 Intervalos de Confianza
Rango que contiene el parámetro verdadero con una probabilidad (1-α). Para el 95%: β̂ ± t(0.025, n-k) · se(β̂). Si el intervalo no contiene el cero, el coeficiente es significativo al 5%.
⚠️ Errores Tipo I y Tipo II
Error Tipo I: rechazar H₀ cuando es verdadera (falso positivo). Su probabilidad es α (nivel de significancia, típicamente 0.05). Error Tipo II: no rechazar H₀ cuando es falsa (falso negativo). Su probabilidad es β. La potencia del test es 1-β.
🎯 Valor p (p-value)
El p-value es la probabilidad de observar un estadístico de prueba tan extremo como el calculado, asumiendo que H₀ es cierta. Si p-value < 0.05, rechazamos H₀ al 5%. No es la probabilidad de que H₀ sea cierta, sino una medida de evidencia contra H₀.
Usando los datos del Módulo 2 (experiencia y salario), donde β̂₁ = 4, n = 5, y supongamos se(β̂₁) = 0.5:
H₀: β₁ = 0 (la experiencia no afecta el salario). H₁: β₁ ≠ 0 (la experiencia sí afecta). Usamos un contraste bilateral.
t = β̂₁ / se(β̂₁) = 4 / 0.5 = 8. Este valor nos dice que el coeficiente está 8 errores estándar por encima de cero.
Con n-k = 5-2 = 3 grados de libertad y α = 0.05 (bilateral), el valor crítico t(0.025, 3) ≈ 3.182.
|8| > 3.182 → Rechazamos H₀. La experiencia SÍ afecta significativamente al salario (al 5%). El p-value asociado es muy pequeño (< 0.001).
IC al 95% = β̂₁ ± t(0.025,3)·se(β̂₁) = 4 ± 3.182·0.5 = [2.409, 5.591]. Como el cero NO está en el intervalo, confirmamos la significancia.
Genera 1000 muestras y observa la distribución del estimador β̂₁. Compara con el valor verdadero.