📊 Definición
Heterocedasticidad significa "varianza desigual". En el modelo clásico, asumimos homocedasticidad: Var(εᵢ|X) = σ² (constante). Cuando hay heterocedasticidad, la varianza de los errores cambia con las observaciones: Var(εᵢ|X) = σᵢ². Es común en datos de corte transversal donde las unidades tienen diferente tamaño o escala.
⚠️ Consecuencias
β̂ sigue siendo insesgado y consistente (la esperanza de β̂ no cambia), pero los errores estándar calculados con la fórmula habitual son sesgados. Esto invalida los t-tests, F-tests e intervalos de confianza. El R² también se ve afectado.
🔍 Test de White
Regresión auxiliar de los residuos al cuadrado (êᵢ²) sobre X, sus cuadrados y productos cruzados. Bajo H₀ (homocedasticidad), el estadístico n·R² se distribuye χ²(k), donde k es el número de regresores en la auxiliar. Si n·R² > χ²(crítico), rechazamos H₀.
🛡️ Errores Robustos (White HC)
Los errores estándar robustos de White (también llamados HC o sandwich) corrigen la heterocedasticidad sin cambiar β̂. La matriz de varianza es Var(β̂) = (X'X)⁻¹X'Ω̂X(X'X)⁻¹, donde Ω̂ es una matriz diagonal con los residuos al cuadrado. Se llaman "sandwich" por su forma.
📐 Test de Breusch-Pagan
Similar al de White pero más parsimonioso: regresa los residuos al cuadrado sobre las variables originales (sin cuadrados ni productos). El estadístico es LM = n·R² de la regresión auxiliar. Es un test con más potencia cuando la heterocedasticidad tiene una forma lineal.
🎯 Ejemplo visual
Imagina que modelamos gasto en comida (Y) vs ingreso (X). Las familias pobres tienen poca variabilidad en su gasto (todas gastan poco). Las familias ricas tienen mucha variabilidad (unas gastan mucho, otras ahorran). Esto es heterocedasticidad: la varianza del error crece con X.
Datos de ingreso (X) y gasto (Y) con heterocedasticidad creciente:
Obtenemos β̂₁ = 0.65. Con la fórmula clásica: se_clásico(β̂₁) = 0.12. t = 0.65/0.12 = 5.42 (significativo).
Al graficar residuos vs ingreso, vemos un patrón de abanico: la dispersión aumenta con X. Esto sugiere que los SE clásicos no son confiables.
Usando la fórmula sandwich: se_robusto(β̂₁) = 0.08. t = 0.65/0.08 = 8.125. En este caso, el SE robusto es menor porque las observaciones con baja varianza (ingresos bajos) tienen más peso en el cálculo.
Dependiendo de la forma de la heterocedasticidad, el SE robusto puede ser mayor o menor que el clásico. Lo importante es que el robusto es consistente incluso cuando hay heterocedasticidad, mientras que el clásico no.
Datos con heterocedasticidad creciente. Compara los intervalos de confianza clásicos vs robustos.