Econometría | 🌊 Autocorrelación Serial

Conceptos Fundamentales

📈 Proceso AR(1)

El modelo autorregresivo de orden 1 (AR(1)) postula que el error actual depende del error del período anterior más un ruido blanco: εₜ = ρεₜ₋₁ + νₜ, donde ρ es el coeficiente de autocorrelación (|ρ| < 1 para estacionariedad) y νₜ es ruido blanco (media 0, varianza constante).

εₜ = ρεₜ₋₁ + νₜ

📐 Durbin-Watson (DW)

Estadístico para detectar autocorrelación de orden 1: d = Σ(êₜ-êₜ₋₁)²/Σêₜ². Aproximadamente d ≈ 2(1-ρ̂). Valores: d ≈ 2 → no autocorrelación; d < 2 → autocorrelación positiva (ρ > 0); d > 2 → autocorrelación negativa (ρ < 0). d < dL rechaza H₀ (autocorrelación positiva).

d = Σ(êₜ-êₜ₋₁)²/Σêₜ²

⚠️ Consecuencias

β̂ sigue siendo insesgado y consistente, pero los errores estándar suelen estar subestimados (cuando ρ > 0), llevando a t-estadísticos inflados e inferencia no válida. El R² puede estar sobreestimado. Los intervalos de confianza son demasiado estrechos.

se(β̂) → subestimado (ρ > 0)

🛠️ Cochrane-Orcutt

Procedimiento iterativo para corregir autocorrelación AR(1): se transforman las variables Y*ₜ = Yₜ - ρ̂Yₜ₋₁ y X*ₜ = Xₜ - ρ̂Xₜ₋₁, y se estima MCO sobre las transformadas. El estimador ρ̂ se obtiene de la regresión de los residuos originales.

Yₜ-ρYₜ₋₁ = β₀(1-ρ) + β₁(Xₜ-ρXₜ₋₁) + νₜ

🛡️ Newey-West (HAC)

Los errores estándar HAC (Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent) de Newey-West son robustos tanto a heterocedasticidad como a autocorrelación. Extienden la idea de White pero permiten correlación entre errores de hasta un número especificado de rezagos (bandwidth).

Var(β̂) = (X'X)⁻¹X'Ω̂X(X'X)⁻¹

📊 Función de Autocorrelación (ACF)

La ACF muestra la correlación entre εₜ y εₜ₋ₖ para diferentes rezagos k. En un AR(1), la ACF decae exponencialmente: ρₖ = ρᵏ. Las bandas de confianza al 95% son ±1.96/√n. Si muchas barras exceden las bandas, hay evidencia de autocorrelación.

ρₖ = Corr(εₜ, εₜ₋ₖ)

Ejemplo paso a paso: Diagnóstico con DW

Estimamos un modelo de consumo trimestral con n=50 y k=3 parámetros. Obtenemos DW = 0.85.

Paso 1: Calcular ρ̂ aproximado

ρ̂ ≈ 1 - d/2 = 1 - 0.85/2 = 0.575. Hay una correlación positiva moderadamente fuerte entre errores consecutivos.

Paso 2: Comparar con valores críticos

Para α=0.05, n=50, k=3: dL ≈ 1.42, dU ≈ 1.67. Como d=0.85 < dL, rechazamos H₀ de no autocorrelación. Hay evidencia de autocorrelación positiva.

Paso 3: Consecuencia en SE

Con ρ=0.575, los errores estándar de MCO pueden estar subestimados en aproximadamente √((1+ρ)/(1-ρ)) = √(1.575/0.425) ≈ 1.92 veces. Un t-estadístico de 2.0 "real" se vería como 3.84.

Paso 4: Aplicar corrección

Usando Cochrane-Orcutt, transformamos los datos con ρ̂=0.575 y reestimamos. O bien, usamos errores HAC de Newey-West que son robustos a la autocorrelación.

Simulación: Proceso AR(1)

Ajusta ρ para ver cómo cambia el patrón de residuos y el estadístico DW.

ρ: 0.60

ρ estimado

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Mini Quiz: Autocorrelación Serial

Resumen del módulo

AR(1): εₜ = ρεₜ₋₁ + νₜ. ρ > 0 = autocorrelación positiva.

DW ≈ 2(1-ρ̂). DW cercano a 0 → autocorrelación positiva severa.

La autocorrelación no sesga β̂ pero invalida los SE e inferencia.

Cochrane-Orcutt y Newey-West HAC son las soluciones principales.

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