⚖️ ¿Qué es MCG?
Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG) es una extensión de MCO que minimiza una suma de cuadrados ponderada: (y-Xβ)'Ω⁻¹(y-Xβ). La matriz Ω es la matriz de varianza-covarianza de los errores. Cuando Ω ≠ σ²I, MCO ya no es ELIO y MCG recupera la optimalidad.
📊 Matriz Ω
Ω es una matriz n×n que captura la estructura de varianza y covarianza de los errores. En el caso clásico (homocedasticidad y no autocorrelación), Ω = σ²I (diagonal con igual varianza). Cuando hay heterocedasticidad, Ω tiene elementos diagonales desiguales. Con autocorrelación, hay elementos no diagonales no nulos.
🎯 MCGF vs MCG
Cuando Ω es conocida (salvo σ²), hablamos de MCG Factible (MCGF). En la práctica casi nunca conocemos Ω exactamente. MCGF estima Ω en una primera etapa (por ejemplo, estimando pesos para heterocedasticidad o ρ para autocorrelación) y luego aplica MCG con la Ω estimada.
🔄 MCO-Ponderados (WLS)
WLS (Weighted Least Squares) es un caso particular de MCG cuando Ω es diagonal (heterocedasticidad sin autocorrelación). Cada observación se pondera por 1/σᵢ. Es como transformar los datos dividiendo por la desviación estándar de cada error: Yᵢ/σᵢ = β₁Xᵢ/σᵢ + εᵢ/σᵢ.
🛠️ El Teorema de Gauss-Markov
El Teorema de Gauss-Markov establece que MCO es ELIO bajo los supuestos clásicos (entre ellos, homocedasticidad y no autocorrelación). Cuando estos supuestos fallan, MCG es ELIO. Esto significa que MCG tiene la menor varianza entre todos los estimadores lineales insesgados.
📈 Transformación de datos
Una forma práctica de entender MCG: transformas los datos multiplicando por P, donde P'P = Ω⁻¹. Así, los datos transformados y* = Py y X* = PX satisfacen los supuestos clásicos. MCO sobre (y*, X*) da el mismo resultado que MCG sobre los datos originales.
Supón que estimamos gasto en I+D (Y) como función del tamaño de la empresa (X). Sabemos que Var(εᵢ) = σ²Xᵢ² (varianza proporcional al cuadrado del tamaño). n=30.
Ω es diagonal con elementos ωᵢ = Xᵢ². Empresas más grandes tienen errores más volátiles, así que su peso será menor.
Dividimos cada variable por √(Xᵢ²) = Xᵢ: Y*ᵢ = Yᵢ/Xᵢ, X*ᵢ = 1/Xᵢ (para la constante) y la pendiente transformada. Ahora los errores transformados ε*ᵢ = εᵢ/Xᵢ tienen varianza homocedástica σ².
Regresionamos Y*ᵢ sobre las X* transformadas. El β̂ obtenido es el estimador MCG. Es ELIO: tiene menor varianza que cualquier otro estimador lineal insesgado (incluyendo MCO original).
Si MCO daba I&D = -2.5 + 0.85*Tamaño (R²=0.72), MCG podría dar I&D = -1.8 + 0.72*Tamaño. La pendiente MCG es más confiable porque le da menos peso a las grandes empresas (alta varianza) que distorsionaban MCO.
Generamos datos heterocedásticos y comparamos MCO vs MCG.