Econometría | 🔍 Diagnóstico del Modelo

Conceptos Fundamentales

🧪 Test RESET de Ramsey

El Regression Specification Error Test (RESET) detecta errores de especificación: forma funcional incorrecta, omisión de variables relevantes o correlación con errores. Consiste en añadir potencias de Ŷ (Ŷ², Ŷ³) a la regresión original y testear si son conjuntamente significativas (F-test).

Y = β₀ + β₁X₁ + γ₁Ŷ² + γ₂Ŷ³ + u → F-test: H₀: γ₁=γ₂=0

📊 Normalidad de residuos

Bajo los supuestos clásicos, los errores se distribuyen normalmente (para inferencia exacta en muestras pequeñas). Se evalúa con gráficos Q-Q (cuantiles teóricos vs observados) y el test Jarque-Bera: JB = n(S²/6 + (K-3)²/24), donde S es asimetría y K curtosis. JB ∼ χ²(2). H₀: normalidad.

JB = n·(S²/6 + (K-3)²/24) ∼ χ²(2)

⚡ Distancia de Cook

Cook's D mide cuánto cambia cada coeficiente estimado si eliminamos una observación. Dᵢ = (rᵢ²/k)·(hᵢ/(1-hᵢ)), donde rᵢ es el residuo studentizado y hᵢ el leverage (hat-value). Valores Dᵢ > 4/n se consideran influyentes.

Dᵢ = (β̂ - β̂₍ᵢ₎)'X'X(β̂ - β̂₍ᵢ₎)/k·σ̂²

📈 R² ajustado

El R² común siempre aumenta cuando añadimos variables, incluso si son irrelevantes. El R² ajustado penaliza por la cantidad de regresores: R̄² = 1 - (1-R²)·(n-1)/(n-k-1). Sirve para comparar modelos con diferente número de variables.

R̄² = 1 - (1-R²)(n-1)/(n-k-1)

📋 AIC y BIC

Criterios de información para selección de modelos: AIC = -2ln(L) + 2k, BIC = -2ln(L) + k·ln(n). Penalizan la complejidad del modelo. El modelo con menor AIC/BIC es preferido. BIC penaliza más fuertemente la complejidad que AIC.

AIC = -2ln(L) + 2k BIC = -2ln(L) + k·ln(n)

🔎 Leverage (Hat-values)

El leverage hᵢ mide cuán extrema es una observación en el espacio de los regresores. Se obtiene de la diagonal de la matriz sombrero H = X(X'X)⁻¹X'. Valores hᵢ > 2k/n se consideran altos. Una observación con alto leverage y gran residuo es peligrosamente influyente.

hᵢ = Xᵢ(X'X)⁻¹Xᵢ' H = X(X'X)⁻¹X'

Ejemplo paso a paso: Diagnóstico completo de un modelo

Estimamos log(PIB) = β₀ + β₁(años_educación) + β₂(inversión/PIB) y aplicamos diagnósticos.

Paso 1: Test RESET

Añadimos Ŷ² a la regresión. Obtenemos F=3.8 con p=0.03. Rechazamos H₀ (p<0.05): hay evidencia de error de especificación. Probablemente faltan términos cuadráticos o interacciones.

Paso 2: Normalidad (Jarque-Bera)

Calculamos asimetría S = -0.45 y curtosis K = 3.8. JB = 100(-0.45²/6 + (3.8-3)²/24) = 100(0.034 + 0.027) = 6.1. Con 2 gl, p=0.047. Rechazamos normalidad al 5%. Los residuos tienen colas pesadas.

Paso 3: Cook's D

Calculamos Dᵢ para cada observación. La observación #12 tiene D=0.52 > 4/100=0.04. Es influyente: al eliminarla, β̂₁ cambia de 0.21 a 0.18 (14% de cambio). Revisamos si es un error de datos o un caso válido.

Paso 4: Selección de modelo

Modelo original: R̄²=0.82, AIC=245, BIC=256. Modelo con término cuadrático: R̄²=0.85, AIC=236, BIC=250. El segundo modelo tiene mejor R̄² y menor AIC/BIC, así que lo preferimos.

Simulación: Diagnóstico interactivo

Generamos datos y evaluamos normalidad, influencia y leverage.

R² ajustado

—

Jarque-Bera

—

p-valor (normalidad)

—

Cook's D máx

—

Obs. influyentes

—

Mini Quiz: Diagnóstico

Resumen del módulo

RESET: test de especificación (potencias de Ŷ). Rechazar H₀ = mala especificación.

Normalidad: Q-Q plot + Jarque-Bera. JB grande = no normalidad.

Cook's D: mide influencia de cada observación. Dᵢ > 4/n = influyente.

R² ajustado, AIC, BIC: criterios para selección de modelos (menor AIC/BIC es mejor).

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