🔗 SUR: Ecuaciones Aparentemente No Relacionadas

Varias ecuaciones, errores correlacionados: un sistema aparentemente no relacionado

GLS Sistema Iterativo
Módulo 10 de 12
💡 Piénsalo así: Tienes 3 ecuaciones de gasto: en alimentos, vivienda y educación. Cada una con sus propios regresores (ingreso, precio). Parecen no relacionadas, pero el error de la ecuación de alimentos puede estar correlacionado con el error de la de vivienda (por ejemplo, un choque de inflación afecta ambos). SUR (Zellner, 1962) usa esa correlación para estimar el sistema completo de manera más eficiente que ecuación por ecuación.
🎯 Al final de este módulo podrás:
Sistema de Ecuaciones

📐 Modelo SUR

Un sistema SUR (Seemingly Unrelated Regressions) con M ecuaciones: y_m = X_m β_m + ε_m, donde m = 1,...,M. Cada ecuación tiene sus propios regresores y coeficientes.

¿Por qué "aparentemente no relacionadas"? Porque aunque las ecuaciones parecen independientes (tienen diferentes variables), los errores pueden estar correlacionados entre ecuaciones para la misma observación: Cov(εim, εik) = σmk ≠ 0.

Ejemplo clásico: Funciones de demanda de distintos bienes. Los choques no observados (cambio de gustos, publicidad) afectan a varios bienes simultáneamente.

y_m = X_mβ_m + ε_m, m=1,...,M

🎯 Estimador SUR-GLS

SUR se estima por GLS (Mínimos Cuadrados Generalizados). El estimador es: β_SUR = [X' (Ω⁻¹ ⊗ I) X]⁻¹ [X' (Ω⁻¹ ⊗ I) y].

Paso a paso: (1) Estimar cada ecuación por MCO. (2) Con los residuos, estimar la matriz de varianza-covarianza Σ (M x M) donde σmk = ε'_m ε_k / N. (3) Estimar GLS del sistema completo.

Ventaja: Si las ecuaciones tienen diferentes X y los errores están correlacionados, SUR es más eficiente que MCO ecuación-por-ecuación. Si las X son idénticas en todas las ecuaciones, SUR equivale a MCO ecuación por ecuación.

β_SUR = [X'(Ω⁻¹⊗I)X]⁻¹[X'(Ω⁻¹⊗I)y]

🔄 SUR Iterativo (ISUR)

Tras obtener β_SUR, puedes recalcular los residuos, reestimar Σ, y reestimar β_SUR. Este proceso iterativo continúa hasta que los coeficientes convergen.

¿Cuándo usarlo? ISUR es equivalente a Máxima Verosimilitud (MV) bajo normalidad de los errores. Tiende a converger rápidamente (3-5 iteraciones típicas).

Precaución: Con T pequeño, ISUR puede sobreajustar. Usar SUR de una etapa (no iterativo) como análisis principal y ISUR como robustez.

En Stata: sureg (eq1) (eq2), corr. En R: systemfit(method="SUR"). En Python: statsmodels.regression.linear_model.SUR.

Iterar: ε → Σ → β_SUR → ε ...

🧪 Test de Breusch-Pagan (Independencia)

El test de Breusch-Pagan (1980) determina si las ecuaciones están correlacionadas. H0: todas las correlaciones entre ecuaciones son cero (σmk = 0 para todo m ≠ k).

Estadístico: BP = T Σ r2mk ~ χ²(M(M-1)/2), donde rmk es la correlación entre los residuos de las ecuaciones m y k.

Interpretación: Si BP es significativo (p < 0.05), rechazamos H0: hay correlación entre ecuaciones y SUR mejora la eficiencia. Si no, MCO ecuación-por-ecuación es suficiente.

LM = T Σ r2mk ~ χ²(M(M-1)/2)

⚙️ Restricciones Cruzadas

Una ventaja importante de SUR es que permite imponer restricciones sobre los coeficientes entre ecuaciones. Por ejemplo, que el efecto del ingreso sea el mismo en la ecuación de alimentos y vivienda: βingreso,1 = βingreso,2.

Test de hipótesis: Puedes probar restricciones lineales (ej: suma de coeficientes = 1, que es común en sistemas de demanda con la restricción de Engel: Σ βingreso = 1).

Implementación: Estimar SUR con restricciones y sin restricciones, luego aplicar test de Wald o LR para ver si las restricciones se cumplen.

β_m = β_k (restricción de igualdad)

⚠️ Limitaciones de SUR

Endogeneidad: SUR asume que los regresores son exógenos en cada ecuación. Si hay endogeneidad, SUR es inconsistente. Se necesita 3SLS o GMM.

Misma muestra: SUR requiere que todas las ecuaciones tengan el mismo número de observaciones (mismas unidades). Si hay datos faltantes en distintas ecuaciones, se pierden observaciones.

Paneles: SUR no es apropiado para paneles con efectos fijos sin modificaciones. En ese caso, mejor usar SUR en datos transformados o modelos de factores.

SUR inconsistente si Cov(X_m, ε_m) ≠ 0
Ejemplo paso a paso

Modelamos 3 ecuaciones de gasto: alimentos (Y1), vivienda (Y2) y educación (Y3), con ingreso (X1) y precios (X2, X3, X4). Datos de 1000 hogares.

Paso 1: Estimar MCO ecuación por ecuación

Ecuación 1: Y1 = α1 + β11*Ingreso + β12*PrecioAlimentos + ε1. MCO: R² = 0.22. Ecuación 2: Y2 = α2 + β21*Ingreso + β22*PrecioVivienda + ε2. R² = 0.18. Ecuación 3: Y3 = α3 + β31*Ingreso + β32*PrecioEducacion + ε3. R² = 0.31.

Paso 2: Test de Breusch-Pagan de independencia

Calculamos las correlaciones de los residuos: r12 = 0.45, r13 = 0.30, r23 = 0.38. BP = 1000 * (0.45² + 0.30² + 0.38²) = 1000 * 0.394 = 394. Con 3 grados de libertad, p ≈ 0. Fuerte correlación entre ecuaciones. SUR es necesario.

Paso 3: Estimar SUR (1 etapa)

Estimamos Σ con los residuos de MCO y luego GLS. Los errores estándar de los coeficientes se reducen entre 15% y 35% comparado con MCO. La eficiencia ganada es sustancial porque los errores están altamente correlacionados (mismo hogar, mismo periodo).

Paso 4: Probar restricción cruzada

Probamos si el efecto del ingreso es igual en las tres ecuaciones: H0: β11 = β21 = β31. Test de Wald: χ²(2) = 25.3, p = 0.000. Rechazamos: el efecto del ingreso difiere entre bienes (como esperábamos, los bienes tienen distintas elasticidades-ingreso).

Simulación: SUR vs OLS

Genera 2 ecuaciones correlacionadas y compara eficiencia.

Presiona "Simular" para ver resultados.
Mini Quiz: SUR
💡 Responde las preguntas sobre SUR.

Resumen del módulo

  • SUR modela M ecuaciones aparentemente no relacionadas con errores correlacionados entre ecuaciones
  • Se estima por GLS usando la matriz de covarianza Σ estimada de los residuos de MCO
  • El test de Breusch-Pagan determina si las ecuaciones están correlacionadas y si SUR es necesario
  • Ventajas: eficiencia (errores estándar menores) y capacidad de imponer restricciones cruzadas
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