π AR(p) β Autorregresivo
El modelo AR(p) asume que el valor actual de una serie depende linealmente de sus propios valores pasados. Piensa en la inercia: si hoy hace calor, es probable que mañana también. La "p" indica cuántos valores pasados usamos.
La fórmula es: yβ = Οβyβββ + Οβyβββ + ... + Οβyβββ + Ξ΅β. El término Ξ΅β es el error aleatorio (ruido blanco) que no podemos predecir. Cada coeficiente Οα΅’ nos dice qué tan importante es ese valor pasado.
Ejemplo real: Para modelizar el PIB mensual, un AR(2) usaría el PIB de los últimos 2 meses para predecir el siguiente. Si Οβ = 0.8 y Οβ = -0.3, el PIB de hace 1 mes influye positivamente y el de hace 2 meses tiene un efecto de corrección.
Peligro común: Si la suma de los coeficientes AR es cercana a 1, la serie puede ser no estacionaria (raíz unitaria). En AR(1), si Ο = 1, la serie explota. Siempre verifica que |Ο| < 1 para AR(1).
π MA(q) β Media Móvil
El modelo MA(q) usa los errores pasados para predecir el presente. Cada vez que el modelo se equivoca (el error Ξ΅β), esa información se usa para corregir la predicción de los próximos períodos. Es como aprender de los errores.
Fórmula: yβ = Ξ΅β + ΞΈβΞ΅βββ + ΞΈβΞ΅βββ + ... + ΞΈβΞ΅ββq. Los errores Ξ΅ son ruido blanco con media cero y varianza constante. Los coeficientes ΞΈ miden el impacto de cada error pasado.
Ejemplo real: En finanzas, un MA(1) captura el efecto de "noticia de último momento": si hoy hubo un shock (buena/mala noticia), su efecto se disipa rápidamente en el siguiente período. ΞΈ negativo significa que el shock se revierte parcialmente.
Peligro común: Los modelos MA requieren que los coeficientes cumplan la "invertibilidad" (|ΞΈ| < 1 para MA(1)). Si no, el modelo no puede representarse como un AR infinito y es inestable.
π§ ARIMA(p,d,q) β El modelo completo
ARIMA integra tres componentes: AR (autorregresivo), I (diferenciación, del inglés "Integrated") y MA (media móvil). La "d" indica cuántas diferencias aplicamos para hacer la serie estacionaria.
Intuición de la diferenciación: Si una serie sube constantemente (tendencia), sus diferencias (cambios) son estables. La primera diferencia es Ξyβ = yβ - yβββ. Si aún hay tendencia, aplicamos segunda diferencia: ΞΒ²yβ = Ξyβ - Ξyβββ.
Ejemplo: Para el PIB argentino (no estacionario en niveles pero sí en diferencias), usar d=1. Luego modelamos las diferencias con ARMA(p,q). El modelo final es ARIMA(p,1,q).
Peligro común: Sobrediferenciar (d muy grande) introduce correlación espuria y empeora el pronóstico. Usa solo la d mínima necesaria para lograr estacionariedad, verificada con tests ADF o KPSS.
π ACF y PACF
La función de autocorrelación (ACF) mide la correlación entre yβ e yβββ. Si el ACF decae lentamente, la serie probablemente es no estacionaria o tiene un componente AR fuerte.
La función de autocorrelación parcial (PACF) mide la correlación entre yβ e yβββ después de eliminar el efecto de los valores intermedios. ¡Es como la correlación "pura" entre dos puntos!
Regla de identificación: Si el PACF se corta abruptamente en el rezago p y el ACF decae β AR(p). Si el ACF se corta en q y el PACF decae β MA(q). Si ambos decaen β ARMA(p,q).
Peligro común: No confíes ciegamente en ACF/PACF con muestras pequeñas (T<50). Las bandas de confianza (Β±1.96/βT) son aproximadas; úsalas como guía, no como verdad absoluta.
1. Identificación
Usar ACF/PACF para identificar p, d, q tentativos. Examinar estacionariedad con tests ADF o KPSS. Si la serie es no estacionaria, diferenciar hasta que lo sea.
2. Estimación
Estimar parámetros por máxima verosimilitud o mínimos cuadrados condicionales. Los coeficientes deben ser estadísticamente significativos (p<0.05).
3. Validación
Verificar residuos tipo ruido blanco. Tests de Ljung-Box (Hβ: no autocorrelación), normalidad y heterocedasticidad. Si los residuos tienen patrón, el modelo es inadecuado.
4. Pronóstico
Generar predicciones puntuales e intervalos de confianza que se ensanchan con el horizonte. Comparar con modelos alternativos usando AIC o BIC.
Genera datos de AR(1), MA(1) o ARMA(1,1) y observa ACF/PACF. Identifica el modelo correcto.
Supón un AR(1): yβ = 0.7Β·yβββ + Ξ΅β, con Ξ΅β ~ N(0,1). El coeficiente Ο = 0.7 indica que el valor actual retiene el 70% del valor anterior. Como |0.7| < 1, el proceso es estacionario.
Si yβ = 0 y Ξ΅β = 0.5, entonces yβ = 0.7(0) + 0.5 = 0.5. Si Ξ΅β = -0.3, entonces yβ = 0.7(0.5) + (-0.3) = 0.35 - 0.3 = 0.05. ¡Así se construye la serie paso a paso!
Para un AR(1), el ACF decae geométricamente: Ο(k) = Οα΅. Con Ο=0.7: Ο(1)=0.7, Ο(2)=0.49, Ο(3)=0.343, Ο(4)=0.24. El PACF tiene un solo pico en k=1 (valor 0.7) y ceros después. Esta es la "firma" de un AR(1).
Para pronosticar yβββ desde el último valor observado yβ: Ε·βββ = 0.7Β·yβ. El intervalo de confianza al 95% es Ε·βββ Β± 1.96Β·Οβ, donde Οβ = 1 (la desviación del error). Para horizontes más lejanos, el pronóstico converge a 0 (la media incondicional).