📐 Ecuación de Estado (Transición)
Describe cómo evoluciona el estado latente θₜ en el tiempo: θₜ = F·θₜ₋₁ + ηₜ con ηₜ ~ N(0, Q). F es la matriz de transición (cómo el estado anterior influye en el actual) y Q es la covarianza del error de estado.
Intuición: Es como un modelo autorregresivo para el estado mismo. Por ejemplo, si θₜ es el PIB potencial, hoy depende del PIB potencial de ayer más un shock.
Ejemplo: Para un AR(2): yₜ = φ₁yₜ₋₁ + φ₂yₜ₋₂ + εₜ, el estado es θₜ = [yₜ, yₜ₋₁]' y la transición es: [yₜ, yₜ₋₁]' = [φ₁, φ₂; 1, 0]·[yₜ₋₁, yₜ₋₂]' + [εₜ, 0]'.
Peligro común: Si la matriz F tiene valores propios fuera del círculo unitario, el estado es no estacionario y el filtro puede no converger.
📏 Ecuación de Observación
Conecta el estado latente con los datos observados: yₜ = H·θₜ + εₜ con εₜ ~ N(0, R). H es la matriz de medición (qué parte del estado se observa) y R es la varianza del error de medición.
Intuición: No vemos el estado directamente, sino una versión ruidosa de él. Es como tratar de adivinar la "temperatura real" (estado) leyendo un termómetro imperfecto (observación).
Ejemplo: En un modelo de factor dinámico, el estado es el "factor común" de la economía (no observable) y las observaciones son PIB, empleo, consumo, inflación, que dependen del factor con diferentes cargas.
Peligro común: Si R (varianza de medición) se subestima, el filtro confía demasiado en los datos ruidosos y el estado estimado será muy volátil.
🔁 Filtro de Kalman: Predicción-Actualización
El filtro itera dos pasos: Predicción: θₜ|ₜ₋₁ = F·θₜ₋₁|ₜ₋₁, Pₜ|ₜ₋₁ = F·Pₜ₋₁|ₜ₋₁·F' + Q. Actualización: Kₜ = Pₜ|ₜ₋₁·H'·(H·Pₜ|ₜ₋₁·H' + R)⁻¹, θₜ|ₜ = θₜ|ₜ₋₁ + Kₜ·(yₜ - H·θₜ|ₜ₋₁), Pₜ|ₜ = (I - Kₜ·H)·Pₜ|ₜ₋₁.
Intuición: Primero predices dónde estará el estado basado en la dinámica anterior. Luego, cuando llega la nueva observación, actualizas la estimación. K (Ganancia de Kalman) decide cuánto peso dar a la nueva información vs. la predicción.
Ejemplo numérico: Si K ≈ 1, confías casi totalmente en la nueva observación (el modelo de estado es poco confiable). Si K ≈ 0, ignoras la observación (el ruido de medición es enorme).
Peligro común: Las matrices Q y R son difíciles de estimar. En la práctica se estiman por máxima verosimilitud junto con los parámetros del modelo.
🔮 Suavizado vs. Filtrado vs. Pronóstico
Filtrado: Estimas θₜ usando datos hasta t (θₜ|ₜ). Pronóstico: Estimas θₜ₊ₖ usando datos hasta t (θₜ₊ₖ|ₜ). Suavizado: Estimas θₜ usando todos los datos disponibles T > t (θₜ|ₜ).
Intuición: El filtrado es tiempo real (lo que sabes ahora), el pronóstico es hacia adelante, el suavizado es mirar hacia atrás con información completa.
Ejemplo: En un modelo de inflación subyacente: filtrado te da la inflación subyacente hoy, pronóstico te da la esperada en 3 meses, y suavizado (Rauch-Tung-Striebel) te da la inflación subyacente revisada para todo el período histórico.
Peligro común: El suavizado siempre es más preciso que el filtrado (usa más información), pero solo es posible para análisis históricos, no en tiempo real.
📈 TVP (Time-Varying Parameters)
Modelos con parámetros que cambian lentamente: yₜ = βₜ·xₜ + εₜ, con βₜ = βₜ₋₁ + ηₜ. El filtro de Kalman estima βₜ en tiempo real. Usado para medir la evolución de la NAIRU, la elasticidad PIB-empleo, o el beta de una acción.
📊 Filtro de Hodrick-Prescott (HP)
Una versión simplificada de un filtro de Kalman. Descompone una serie en tendencia (estado) y ciclo. Aunque popular, tiene limitaciones: parámetro λ arbitrario, efecto de punto final, y asume que la tendencia es I(2).
Genera un estado latente y una observación ruidosa. El filtro estima recursivamente el estado.
Modelo: yₜ = μₜ + εₜ (observaciones = nivel local + ruido) y μₜ = μₜ₋₁ + ηₜ (el nivel sigue un random walk). Estado: θₜ = μₜ. Ecuación de observación: yₜ = [1]·μₜ + εₜ. Ecuación de estado: μₜ = [1]·μₜ₋₁ + ηₜ. Asume Q = 1, R = 1.
μ₀|₀ = y₁ (primera observación como estimación inicial). P₀|₀ = 1 (varianza inicial). En t=1, predecimos: μ₁|₀ = μ₀|₀, P₁|₀ = P₀|₀ + Q = 2. Luego actualizamos con y₁: K₁ = P₁|₀·(P₁|₀ + R)⁻¹ = 2/(2+1) = 0.67. μ₁|₁ = μ₁|₀ + 0.67·(y₁ - μ₁|₀). ¡La ganancia de Kalman es 0.67!
Para t=2: μ₂|₁ = μ₁|₁, P₂|₁ = P₁|₁ + Q. Después de actualizar, P₁|₁ = (1-K₁)·P₁|₀ = 0.33·2 = 0.66. Entonces P₂|₁ = 0.66 + 1 = 1.66. K₂ = 1.66/(1.66+1) = 0.62. Observa que K disminuye con el tiempo a medida que el filtro gana confianza en la estimación del estado.
Después de suficientes períodos, K converge a un valor de estado estacionario (depende de la razón Q/R). Las estimaciones filtradas μₜ|ₜ son más suaves que las observaciones originales yₜ. La verosimilitud se calcula del error de predicción: -2·ln(L) = Σ[ln(2π·Sₜ) + vₜ²/Sₜ], donde vₜ = yₜ - μₜ|ₜ₋₁ y Sₜ = Pₜ|ₜ₋₁ + R.