🔗 Definición de Cointegración
Dos series xₜ e yₜ, ambas I(1) (no estacionarias), están cointegradas si existe una combinación lineal zₜ = yₜ - βxₜ que es I(0) (estacionaria). zₜ se llama el "error de equilibrio" o "spread" y representa la desviación de la relación de largo plazo.
Intuición: Aunque cada serie por separado no tiene media constante (caminan aleatoriamente), juntas se mueven sincronizadas. La distancia entre ellas es estable. Visualmente, si graficas yₜ vs xₜ, los puntos se alinean alrededor de una recta: yₜ = βxₜ.
Ejemplo real: Los precios del oro en diferentes mercados (Londres y Nueva York) son I(1) individualmente, pero su diferencia (spread) es estacionaria. Si se alejan demasiado, los arbitrajistas los devuelven al equilibrio.
Peligro común: La regresión de series I(1) no cointegradas produce regresión espuria: R² alto y t significativos aunque no haya relación. Siempre verifica cointegración antes de interpretar una regresión entre series I(1).
📏 Engle-Granger 2 pasos
Engle y Granger (1987) propusieron un método simple de 2 pasos: Paso 1: Estimar la relación de largo plazo por MCO: yₜ = α + βxₜ + zₜ. Paso 2: Probar estacionariedad de los residuos zₜ usando el test ADF (Dickey-Fuller Aumentado).
Intuición: Si el residuo zₜ es estacionario (según ADF), las series están cointegradas. Si zₜ es I(1), no hay cointegración y la regresión del paso 1 es espuria.
Ejemplo: Estimas yₜ = precio de una acción, xₜ = precio de otra acción del mismo sector. Si el spread (residuo) es estacionario, las acciones están cointegradas y puedes hacer pares trading.
Peligro común: El test ADF sobre residuos usa valores críticos especiales (no los estándar) porque los residuos son estimados. Usa las tablas de MacKinnon (1991) o valores críticos de Engle-Granger.
📊 Johansen Trace Test
El test de Johansen (1988, 1991) extiende la prueba a múltiples variables. Basado en un VAR, prueba el rango de cointegración r: cuántos vectores de cointegración independientes existen entre n variables.
Intuición: Con 2 variables, a lo sumo puede haber 1 vector de cointegración. Con 3 variables, puede haber hasta 2 vectores. El Trace Test prueba secuencialmente H₀: r=0, r≤1, r≤2, etc., hasta que no pueda rechazar.
Ejemplo real: En la estructura temporal de tasas (bonos a 3 meses, 1 año, 5 años, 10 años), Johansen típicamente encuentra 2-3 vectores de cointegración (los spreads entre plazos son estacionarios).
Peligro común: Johansen es sensible a la especificación del VAR (número de rezagos, presencia de tendencia determinista). Usa criterios AIC/BIC para rezagos y prueba diferentes especificaciones de tendencia.
📦 VECM — Vector Error Correction Model
Una vez confirmada la cointegración, el VECM modela la dinámica conjunta: Δyₜ = αβ'yₜ₋₁ + Γ₁Δyₜ₋₁ + ... + ΓₚΔyₜ₋ₚ + εₜ. β es la matriz de cointegración (relaciones de largo plazo), α es la velocidad de ajuste (qué tan rápido se corrige el desequilibrio).
Intuición: El término αβ'yₜ₋₁ es el "error correction": si el spread se desvió del equilibrio en el período anterior (β'yₜ₋₁ ≠ 0), las variables se ajustan en el período actual para corregirlo. α mide la velocidad de ese ajuste.
Ejemplo: En un VECM para PPP, β = [1, -1] (tipo de cambio - precios relativos). α₁ = -0.3 (el tipo de cambio se ajusta un 30% del error cada trimestre), α₂ = 0.1 (los precios se ajustan un 10%). El tipo de cambio se ajusta más rápido.
Peligro común: Si α = 0 en todas las ecuaciones, no hay corrección de error: aunque las series estén cointegradas, el sistema no regresa al equilibrio. Esto contradice la definición de cointegración y sugiere que el modelo no es VECM válido.
💱 PPP (Purchasing Power Parity)
Tipo de cambio nominal y diferencial de precios deben cointegrarse. La desviación de PPP es el error de equilibrio. Si el tipo de cambio real se desvía, las fuerzas de mercado lo devuelven. Empíricamente, la cointegración de PPP es controvertida: se cumple en el muy largo plazo pero hay desviaciones persistentes.
📈 Yield Curve (Estructura Temporal)
Bonos de diferentes plazos están cointegrados: los spreads (diferencia entre tasa larga y corta) son la combinación estacionaria. La teoría de expectativas dice que la tasa larga es un promedio de tasas cortas futuras esperadas, lo que implica cointegración entre plazos.
Genera un par de series I(1) cointegradas. Ajusta β (parámetro de cointegración) y observa el spread.
Primero, aplica el test ADF a cada serie individualmente. Supón que ADF(x) = -0.5 (p=0.89) y ADF(y) = -1.2 (p=0.68). Ambos no rechazan H₀ de raíz unitaria → ambas son I(1). En primeras diferencias, ADF(Δx) = -4.5 (p<0.01) y ADF(Δy) = -5.1 (p<0.01) → son I(1).
Estima yₜ = α + βxₜ + zₜ por MCO. Resultado: ŷₜ = 2.5 + 1.2·xₜ. Esto significa que en el largo plazo, cuando x aumenta 1 unidad, y aumenta 1.2 unidades. El residuo zₜ = yₜ - 2.5 - 1.2·xₜ es la desviación del equilibrio.
Aplica ADF a los residuos zₜ. Supón que ADF(z) = -3.8. El valor crítico de MacKinnon al 5% para 2 variables es aproximadamente -3.37. Como -3.8 < -3.37, rechazamos H₀ de raíz unitaria en los residuos → ¡las series están cointegradas!
Con cointegración confirmada, estima el VECM: Δyₜ = -0.25·zₜ₋₁ + 0.3·Δyₜ₋₁ + 0.1·Δxₜ₋₁ + ε. ¿Qué significa α = -0.25? Que si el spread ayer era +1 (y estaba por encima del equilibrio), hoy y se ajusta un 25% hacia abajo para corregir el desequilibrio. La velocidad de ajuste es del 25% por período.