📉 Forma Reducida
La forma reducida es un VAR(p) que se estima directamente por MCO: y_t = c + A_1 y_{t-1} + ... + A_p y_{t-p} + u_t. Los errores u_t tienen matriz de covarianza Σ que NO es diagonal — las innovaciones están correlacionadas contemporáneamente. Esto significa que un shock en u_{1t} está correlacionado con u_{2t}, imposibilitando identificar shocks estructurales únicos.
Intuición: Imagina que correlacionas PIB e inflación. Un "shock" en la ecuación del PIB en realidad contiene tanto un shock de oferta como uno de demanda mezclados.
🔧 Forma Estructural
El SVAR postula que existe una matriz A_0 tal que A_0 y_t = c̃ + ΣÃ_i y_{t-i} + ε_t, donde ε_t son los shocks estructurales con varianza identidad (ortogonales). La relación clave es: u_t = A_0^{-1} ε_t. Es decir, los errores reducidos son combinaciones lineales de los shocks estructurales. El problema de identificación es encontrar A_0.
Ejemplo real: La Reserva Federal quiere saber cómo responde el PIB a un shock de política monetaria. Necesita separar el shock de política de los demás shocks que afectan la economía simultáneamente.
🔗 Relación: u = A_0^{-1} ε
De la relación u_t = A_0^{-1} ε_t y Var(u_t) = Σ, obtenemos Σ = A_0^{-1} (A_0^{-1})'. Esto nos da n(n+1)/2 ecuaciones (elementos únicos de Σ) para n^2 incógnitas (elementos de A_0^{-1}). Necesitamos n(n-1)/2 restricciones adicionales para identificar el sistema.
Punto clave: Sin restricciones, hay infinitas matrices A_0 que producen el mismo Σ. Cholesky es una forma de imponer exactamente n(n-1)/2 restricciones.
📊 Descomposición de Cholesky
Cholesky impone que A_0^{-1} sea triangular inferior con unos en la diagonal. Esto significa que la primera variable responde solo a su propio shock estructural, la segunda responde al shock de la primera y al suyo propio, etc. El orden importa: ¡cambiar el orden cambia las IRFs!
Ejemplo macro: Orden GDP → Inflación → Tasa de Interés. Esto refleja que el PIB es lento (no responde contemporáneamente a shocks financieros), mientras que la tasa es rápida (responde a todo de inmediato).
Pitfall común: Muchos investigadores prueban varios ordenamientos hasta obtener IRFs "deseadas". Esto invalida la inferencia — el orden debe basarse en teoría económica, no en resultados.
Ejemplo paso a paso: Identificación Cholesky con 3 variables macro
Supongamos que tenemos un VAR(1) con 3 variables: GDP (PIB), INF (inflación), IR (tasa de interés). Estimamos por MCO y obtenemos la matriz de covarianza de errores Σ = [[1.0, 0.5, 0.3], [0.5, 1.2, 0.4], [0.3, 0.4, 0.8]]. Nota que los errores están correlacionados (elementos fuera de la diagonal no son cero).
Calculamos P = chol(Σ), lo que nos da una matriz triangular inferior P = [[1.0, 0, 0], [0.5, 0.97, 0], [0.3, 0.26, 0.84]]. Esta P es nuestra A_0^{-1}. La interpretación: la primera fila dice que el shock estructural del PIB ε_GDP afecta solo al PIB contemporáneamente. El shock de inflación ε_INF afecta a GDP (0.5) y a INF (0.97).
Con A_0^{-1} identificada, podemos calcular cómo responde cada variable a un shock de 1 desviación estándar en cada ε. Por ejemplo, un shock contractivo de política monetaria (ε_IR = +1) eleva la tasa contemporáneamente, y en periodos siguientes el PIB cae y la inflación baja — el efecto clásico de transmisión monetaria.
En la simulación de abajo, puedes cambiar el orden de las 3 variables. Observa que las IRFs cambian — a veces drásticamente. Esto ilustra la sensibilidad del método al orden recursivo. Un buen econometrista justifica su orden con teoría: ¿el PIB responde a la tasa en el mismo trimestre? ¿O la tasa responde al PIB en el mismo mes?
Elige el orden de las 3 variables macro y observa cómo cambian las IRFs ante un shock de política monetaria.