📐 ARCH(q)
Engle (1982): σ²ₜ = α₀ + α₁ε²ₜ₋₁ + ... + αₙε²ₜ₋q. La varianza condicional depende de los errores cuadráticos pasados. Intuición: ARCH dice que si el shock de ayer (ε²ₜ₋₁) fue grande, la volatilidad de hoy será alta. Es como un medidor de intensidad: si ayer tembló fuerte, hoy hay mayor probabilidad de réplicas. El problema de ARCH es que necesita muchos rezagos (q grande) para capturar la persistencia de la volatilidad. Por ejemplo, para modelar la volatilidad mensual, necesitaríamos ARCH(12) o más — muchos parámetros. La estimación por MLE maximiza la función de verosimilitud asumiendo normalidad condicional.
📊 GARCH(1,1)
Bollerslev (1986): σ²ₜ = α₀ + α₁ε²ₜ₋₁ + βσ²ₜ₋₁. Añade la varianza pasada como predictor. Más parsimonioso que ARCH. Intuición: GARCH(1,1) solo necesita 3 parámetros (α₀, α₁, β) para hacer lo que ARCH haría con muchos. La clave es que la varianza de ayer (σ²ₜ₋₁) ya contiene toda la historia pasada de shocks. Es como un atajo: en lugar de recordar cada shock individual, recuerdas la "temperatura" general de la volatilidad y la actualizas con cada nuevo shock. En la práctica, GARCH(1,1) es el modelo más usado en finanzas para riesgo. Se estima por máxima verosimilitud y típicamente α₁ ~ 0.05-0.15 y β ~ 0.80-0.95.
⚖️ Estacionariedad y Persistencia
GARCH es estacionario en covarianza si α₁ + β < 1. La persistencia es α₁ + β. Si es cercano a 1, los shocks de volatilidad duran mucho (IGARCH). Intuición: La persistencia mide qué tan rápido la volatilidad vuelve a su media después de un shock. Si α+β = 0.95, la volatilidad de un shock se reduce a la mitad en aproximadamente 14 días (half-life = ln(0.5)/ln(α+β)). Si α+β = 0.99, el half-life es de ~70 días. Cuando α+β = 1 (IGARCH), el shock nunca desaparece completamente — la volatilidad tiene memoria infinita. Esto último es común en datos financieros de alta frecuencia. La varianza incondicional es σ² = ω / (1 - α - β).
🔔 News Impact Curve
Muestra cómo reacciona σ²ₜ a shocks εₜ₋₁. En GARCH simétrico, la curva es parabólica: shocks positivos y negativos del mismo tamaño tienen el mismo efecto. Intuición: GARCH(1,1) solo mira el cuadrado del shock ε²ₜ₋₁. Esto significa que una subida del 3% tiene el mismo efecto en la volatilidad futura que una caída del 3%. ¡Pero en los mercados reales, las caídas generan más volatilidad! Esta limitación motiva los modelos asimétricos (EGARCH, GJR-GARCH) que veremos en el módulo 5. La NIC se grafica como σ²ₜ = ω + αε²ₜ₋₁ + βσ̄², donde σ̄² es la varianza incondicional (o un valor de referencia).
📏 Distribución Condicional
Aunque los errores εₜ pueden asumirse normales, en la práctica se usan distribuciones con colas más pesadas como t-Student o GED. Intuición: Incluso después de modelar la volatilidad con GARCH, los residuos estandarizados zₜ = εₜ/σₜ todavía muestran colas pesadas. Esto significa que la distribución normal condicional no es suficiente. Usar una t-Student con pocos grados de libertad (df ~ 4-8) captura mejor estas colas remanentes. La estimación por MLE con t-Student solo agrega un parámetro adicional (los df) pero mejora significativamente el ajuste, especialmente para cálculo de VaR.
📈 Pronóstico con GARCH
El pronóstico h-pasos adelante de GARCH(1,1) converge a la varianza incondicional. σ²ₜ₊ₕ = σ̄² + (α+β)ʰ⁻¹(σ²ₜ₊₁ - σ̄²). Intuición: Para horizontes largos, el mejor pronóstico de la volatilidad es la varianza incondicional (media a largo plazo). Para horizontes cortos (1-10 días), el pronóstico depende del nivel actual de volatilidad. Esta propiedad es crucial para el cálculo del VaR a diferentes horizontes temporales. El decaimiento exponencial del pronóstico depende directamente de α+β: a mayor persistencia, más lento el retorno a la media.
Controla los parámetros α₁ y β del GARCH(1,1) y observa cómo cambia la volatilidad.
Estimamos un GARCH(1,1) para retornos diarios de Bitcoin con ω = 0.0001, α = 0.12, β = 0.85.
Varianza incondicional: σ̄² = ω / (1 - α - β) = 0.0001 / (1 - 0.12 - 0.85) = 0.0001 / 0.03 = 0.00333. Volatilidad incondicional: √0.00333 = 5.77% diario. Asumimos σ²₁ = σ̄² (valor inicial).
ε₁ = 0.02. σ²₁ = 0.00333 (inicial). Para el día 2: σ²₂ = ω + α × ε²₁ + β × σ²₁ = 0.0001 + 0.12 × (0.02)² + 0.85 × 0.00333 = 0.0001 + 0.12 × 0.0004 + 0.00283 = 0.0001 + 0.000048 + 0.00283 = 0.002978. σ₂ = √0.002978 = 5.46%.
ε₂ = -0.04. σ²₃ = 0.0001 + 0.12 × 0.0016 + 0.85 × 0.002978 = 0.0001 + 0.000192 + 0.002531 = 0.002823. σ₃ = √0.002823 = 5.31%. ¡La volatilidad baja un poco! Pero espera: el shock grande (-4%) aumentaría la volatilidad en el siguiente paso.
ε₃ = 0.01. σ²₄ = 0.0001 + 0.12 × 0.0001 + 0.85 × 0.002823 = 0.0001 + 0.000012 + 0.002400 = 0.002512. σ₄ = 5.01%. Observa cómo la volatilidad "hereda" el efecto del shock del día 2 a través del término βσ²ₜ₋₁. La persistencia es α+β = 0.97, lo que significa que los shocks de volatilidad duran bastante.