📐 EGARCH (Nelson, 1991)
log(σ²ₜ) = ω + α(|zₜ₋₁| - E|zₜ₋₁|) + γzₜ₋₁ + βlog(σ²ₜ₋₁). Intuición: EGARCH tiene tres ventajas clave. Primera, usa log(σ²ₜ), lo que garantiza que la varianza sea siempre positiva sin necesidad de restringir los parámetros. Segunda, el término |zₜ₋₁| - E|zₜ₋₁| captura la magnitud del shock (efecto ARCH). Tercera, y más importante, el término γzₜ₋₁ captura la asimetría: si γ < 0, los shocks negativos (z < 0) aumentan más la volatilidad que los positivos del mismo tamaño. Para el S&P 500, γ suele ser -0.05 a -0.15, confirmando el efecto leverage. Además, como la volatilidad está en logaritmos, no hay restricciones de no negatividad en los parámetros.
📊 GJR-GARCH (Glosten et al., 1993)
σ²ₜ = ω + αε²ₜ₋₁ + γε²ₜ₋₁I(εₜ₋₁<0) + βσ²ₜ₋₁. γ > 0 significa que las noticias negativas tienen mayor impacto. Intuición: GJR-GARCH añade un término de interacción: cuando el shock es negativo (εₜ₋₁ < 0), la variable indicadora I = 1 y se activa el término adicional γ. El impacto total de un shock negativo es α + γ, mientras que el de un shock positivo es solo α. Si γ = 0.10 y α = 0.05, una caída del 2% genera un impacto en volatilidad de 0.05 × 0.0004 + 0.10 × 0.0004 = 0.00006, mientras que una subida del 2% solo genera 0.05 × 0.0004 = 0.00002. ¡El triple de impacto! En la práctica, γ suele estimarse entre 0.05 y 0.20 para índices accionarios.
🔄 TGARCH y APARCH
TGARCH modela σₜ en vez de σ²ₜ: σₜ = ω + α|εₜ₋₁| + γ|εₜ₋₁|I(εₜ₋₁<0) + βσₜ₋₁. APARCH permite potencias distintas de 2: σᵟₜ = ω + α(|εₜ₋₁| - γεₜ₋₁)ᵟ + βσᵟₜ₋₁. Intuición: APARCH (Ding, Granger & Engle, 1993) es el más general: estima la potencia δ óptima en lugar de asumir δ = 2 (como GARCH) o δ = 1 (como TGARCH). Esto es importante porque los retornos financieros pueden tener una estructura de potencia óptima entre 1 y 2. TGARCH modela la desviación estándar (σₜ) en lugar de la varianza (σ²ₜ), lo que a veces es más estable numéricamente. Ambos capturan asimetrías de manera similar a GJR-GARCH.
🔍 Leverage vs Volatility Feedback
Leverage: caída de precio → mayor apalancamiento → mayor riesgo. Feedback: mayor volatilidad → mayor prima de riesgo → caída de precio. Intuición: El efecto leverage (Black, 1976) dice que cuando el precio de una acción cae, su relación deuda/capital (apalancamiento) aumenta, haciendo la acción más riesgosa y por tanto más volátil. El volatility feedback (French, Schwert & Stambaugh, 1987) dice lo contrario: si la volatilidad esperada aumenta, los inversores exigen mayor retorno esperado, lo que hace caer el precio actual. Ambos mecanismos producen la misma correlación negativa entre retornos y volatilidad, pero la dirección de la causalidad es opuesta. En la práctica, ambos coexisten y es difícil separarlos empíricamente.
📏 News Impact Curve Asimétrica
En EGARCH y GJR-GARCH, la NIC es asimétrica: shocks negativos generan una respuesta mayor que shocks positivos del mismo tamaño. Intuición: Grafica σ²ₜ (eje y) contra εₜ₋₁ (eje x). En GARCH simétrico, la curva es una parábola simétrica alrededor de 0. En EGARCH, la curva tiene pendiente distinta a cada lado: para shocks negativos (izquierda), la pendiente es α - γ; para shocks positivos (derecha), es α + γ. Con γ negativo típico, la pendiente es mayor para shocks negativos. En GJR-GARCH, la parábola se "abre" más hacia arriba para shocks negativos. Esta asimetría es crucial para valoración de opciones y gestión de riesgo.
📊 Selección de modelos asimétricos
Para elegir entre EGARCH, GJR-GARCH, TGARCH o APARCH se usan criterios de información (AIC, BIC) y tests de ratio de verosimilitud. Intuición: En la práctica, EGARCH(1,1) y GJR-GARCH(1,1) son los más populares. AIC = -2ln(L) + 2k, BIC = -2ln(L) + k·ln(T), donde menor es mejor. Para datos del S&P 500, EGARCH(1,1) suele tener menor AIC que GARCH(1,1). Para criptomonedas (Bitcoin, Ethereum), la asimetría suele ser aún más pronunciada, haciendo los modelos asimétricos aún más importantes. Un test de Wald sobre γ (H₀: γ = 0) permite verificar si la asimetría es estadísticamente significativa.
Compara GARCH, EGARCH y GJR-GARCH. Controla el parámetro de leverage γ.
Supón que el S&P 500 cae 3% en un día. Comparamos el impacto en volatilidad.
GARCH(1,1): ω=0.0001, α=0.08, β=0.90. GJR-GARCH(1,1): ω=0.0001, α=0.05, β=0.90, γ=0.10. Varianza previa: σ²ₜ₋₁ = 0.0004 (volatilidad 2%).
GARCH: σ²ₜ = 0.0001 + 0.08 × (0.03)² + 0.90 × 0.0004 = 0.0001 + 0.08 × 0.0009 + 0.00036 = 0.0001 + 0.000072 + 0.00036 = 0.000532. Volatilidad: √0.000532 = 2.31%. Aumento de 2% a 2.31%. Si el shock hubiera sido +3% (subida), daría exactamente el mismo resultado.
GJR-GARCH para caída (εₜ₋₁ = -0.03 < 0, I=1): σ²ₜ = 0.0001 + 0.05 × 0.0009 + 0.10 × 0.0009 + 0.90 × 0.0004 = 0.0001 + 0.000045 + 0.000090 + 0.00036 = 0.000595. Volatilidad: √0.000595 = 2.44%. Para una subida del 3% (I=0): σ²ₜ = 0.0001 + 0.05 × 0.0009 + 0 + 0.90 × 0.0004 = 0.000505. Volatilidad: √0.000505 = 2.25%.
GARCH: caída y subida generan σ = 2.31% (simétrico). GJR-GARCH: caída genera σ = 2.44%, subida genera σ = 2.25% (asimétrico). ¡La caída genera 0.19% más de volatilidad que la subida! Esta diferencia es crucial para el cálculo de VaR en mercados bajistas y para la valoración de opciones out-of-the-money put.