š DCC (Engle, 2002)
Rā = diag(Qā)ā»Ā¹ Qā diag(Qā)ā»Ā¹, donde Qā = (1-Ī±-Ī²)RĢ + Ī±zāāāz'āāā + Ī²Qāāā. Intuición: DCC (Dynamic Conditional Correlation) estima la correlación en dos etapas. Primera: estima GARCH(1,1) univariante para cada activo y obtiene los residuos estandarizados zā. Segunda: modela la matriz Qā como un promedio ponderado de tres componentes: (1) la correlación incondicional RĢ (a largo plazo), (2) el producto de los residuos estandarizados del período anterior zāāāz'āāā (el shock reciente), y (3) la matriz Q del período anterior (persistencia). La correlación condicional es Ļįµ¢ā±¼ā = qįµ¢ā±¼ā / ā(qįµ¢įµ¢ā qā±¼ā±¼ā). En la crisis de 2008, la correlación entre activos subió de ~0.4 a ~0.8, demostrando la importancia de la correlación dinámica.
š BEKK (Engle & Kroner, 1995)
Hā = C'C + A'ĪµāāāĪµ'āāāA + B'HāāāB. Garantiza Hā definida positiva. Intuición: BEKK modela directamente la matriz de covarianzas Hā asegurando que sea definida positiva (requisito para que sea una matriz de covarianzas válida). Lo hace mediante una estructura cuadrática (producto de matrices) que garantiza la positividad automáticamente. El costo: para N activos, necesita estimar O(NĀ²) parámetros. Para 10 activos, BEKK tiene ~210 parámetros. Para 50 activos, ~5,000 parámetros. ¡Imposible de estimar! Además, la interpretación de los parámetros A y B no es intuitiva porque los efectos están "mezclados" por las matrices.
ā” Correlation Targeting
DCC permite estimar primero los GARCH univariantes y luego la correlación dinámica en dos etapas. Escala a N grande (50+ activos). Intuición: La gran ventaja de DCC es que separa el problema: primero estimas N modelos GARCH univariantes (uno por activo) y luego estimas solo 2 parámetros (Ī± y Ī²) para la correlación dinámica, independientemente de N. La correlación incondicional RĢ se estima como la media muestral de los residuos estandarizados. Esto hace que DCC sea computacionalmente factible para portafolios con 50, 100 o incluso 500 activos. En la práctica, DCC con 50 activos se estima en segundos, mientras que BEKK con solo 5 activos puede tomar minutos y con 10 activos es prácticamente inviable.
š”ļø VaR de Portafolio
Con DCC, el VaR del portafolio es: VaR_p = z_Ī± ā(w'Hāw). La correlación variable mejora la estimación del riesgo en crisis. Intuición: El VaR de un portafolio depende de tres cosas: la volatilidad de cada activo (Ļįµ¢), la correlación entre ellos (Ļįµ¢ā±¼), y los pesos (wįµ¢). La fórmula completa es: ĻĀ²ā = Ī£wįµ¢Ā²Ļįµ¢Ā² + 2Ī£Ī£wįµ¢wā±¼Ļįµ¢Ļā±¼Ļįµ¢ā±¼. Con correlación constante, subestimas el riesgo cuando las correlaciones suben en crisis. DCC captura este aumento, dando un VaR más preciso. Durante COVID-19 (marzo 2020), las correlaciones entre activos globales subieron de ~0.3 a ~0.7, y el VaR con DCC fue significativamente mayor que con correlación constante.
š Modelos de Correlación Constante (CCC)
CCC-GARCH (Bollerslev, 1990): Hā = Dā R Dā, donde Dā contiene las volatilidades individuales y R es una matriz de correlación constante. Intuición: CCC asume que la correlación es constante en el tiempo, lo que simplifica enormemente la estimación. Es útil como referencia o para periodos cortos. Sin embargo, la evidencia empírica muestra que las correlaciones NO son constantes: tienden a aumentar en crisis (cambio de régimen). El test de Tse (2000) permite verificar si la correlación es constante vs dinámica: si se rechaza Hā, DCC es preferible a CCC. En la práctica, para casi todos los pares de activos financieros, las correlaciones varían significativamente en el tiempo.
š Aplicaciones de MGARCH
MGARCH se usa para optimización de portafolios dinámica, cobertura (hedge ratios), cálculo de capital regulatorio (Basel III), y stress testing. Intuición: Con DCC puedes calcular el hedge ratio óptimo: Ī²ā = Cov(rāā, rāā) / Var(rāā) = Ļāāā Ć (Ļāā/Ļāā). Si la correlación cambia, la cobertura óptima cambia. Por ejemplo, si tienes Bitcoin y Ethereum, la cobertura óptima entre ellos varía con la correlación. En periodos de alta correlación, tener ambos no diversifica; en periodos de baja correlación, sí. Para cumplimiento de Basel III, el capital por riesgo de mercado se calcula con modelos de VaR que deben capturar correlaciones variables.
Simula la correlación dinámica entre dos activos con DCC. Controla la persistencia de la correlación.
Portafolio 50% Bitcoin, 50% Ethereum. Pesos w = [0.5, 0.5].
Bitcoin: Ļā = 0.04 (4% diario). Ethereum: Ļā = 0.05 (5% diario). Estimadas con GARCH(1,1) individual.
DCC estima que hoy la correlación es Ļ = 0.65. La matriz de covarianzas Hā = [ĻāĀ², ĻĻāĻā; ĻĻāĻā, ĻāĀ²] = [0.0016, 0.0013; 0.0013, 0.0025].
ĻĀ²ā = wāĀ²ĻāĀ² + wāĀ²ĻāĀ² + 2wāwāĻĻāĻā = 0.25 Ć 0.0016 + 0.25 Ć 0.0025 + 2 Ć 0.5 Ć 0.5 Ć 0.0013 = 0.0004 + 0.000625 + 0.00065 = 0.001675. Ļā = ā0.001675 = 0.0409 (4.09%).
VaR(95%) = -1.645 Ć Ļā = -1.645 Ć 0.0409 = -0.0673 = -6.73%. Para un portafolio de $100,000, el VaR es $6,730. Si hubiéramos usado correlación constante de 0.4 (subestimando), el VaR habría sido solo $5,890. ¡Una diferencia del 14%! DCC captura que en periodos de estrés las correlaciones suben, dando una imagen más realista del riesgo.