📐 Modelo SV(1)
yₜ = exp(hₜ/2)εₜ, hₜ₊₁ = μ + φ(hₜ - μ) + ηₜ. Intuición: La log-volatilidad hₜ sigue un proceso AR(1) con su propio shock ηₜ ∼ N(0, σ²η). Esto es clave: mientras que GARCH tiene una sola fuente de aleatoriedad (εₜ), SV tiene dos (εₜ para el retorno, ηₜ para la volatilidad). Esto hace que SV sea mucho más flexible: la volatilidad puede cambiar por razones no relacionadas con los retornos pasados. Por ejemplo, una noticia geopolítica puede aumentar la volatilidad sin que haya habido un shock grande en los retornos ese día. El parámetro φ mide la persistencia de la volatilidad latente (típicamente φ ~ 0.95-0.99).
🔍 SV vs GARCH
SV tiene dos fuentes de aleatoriedad (εₜ, ηₜ) mientras GARCH solo una (εₜ). SV es más flexible pero difícil de estimar por MLE. Intuición: En GARCH, la varianza de mañana es una función determinista de los datos de hoy: si conoces εₜ y σ²ₜ, conoces exactamente σ²ₜ₊₁. En SV, incluso conociendo toda la historia, no puedes predecir exactamente hₜ₊₁ porque tiene su propio shock ηₜ. Esto hace que SV sea más realista: la volatilidad financiera tiene un componente impredecible. Sin embargo, la función de verosimilitud de SV no tiene forma cerrada porque la volatilidad es latente (no observable), requiriendo métodos de simulación para la estimación.
📊 Estimación: MCMC
MCMC (Gibbs sampling, Metropolis-Hastings) es el método estándar para SV. Muestrea la volatilidad latente y los parámetros de forma iterativa. Intuición: MCMC funciona así: (1) inicializa valores para los parámetros (μ, φ, ση) y las volatilidades hₜ. (2) Muestrea cada hₜ condicional a los datos y demás parámetros (Gibbs sampling). (3) Muestrea los parámetros condicionales a las hₜ. (4) Repite miles de veces, construyendo una cadena de Markov cuyas muestras convergen a la distribución posterior. Las últimas muestras se usan para inferencia. Este proceso es computacionalmente intensivo: para 1000 observaciones, MCMC puede tomar minutos. Métodos más rápidos incluyen el particle filter (SMC) y la estimación por máxima verosimilitud simulada.
🔄 Leverage SV
Extiende SV permitiendo correlación entre εₜ y ηₜ₊₁. Corr(εₜ, ηₜ₊₁) < 0 captura el efecto leverage. Intuición: En el SV básico, los shocks de retorno y volatilidad son independientes. El Leverage SV permite que estén correlacionados: si el mercado cae hoy (εₜ negativo), la volatilidad de mañana tiende a subir (ηₜ₊₁ positivo). Esta correlación negativa (ρ < 0) captura el efecto leverage de manera más natural que en GARCH. La estimación es más compleja porque ahora hay que estimar ρ además de los demás parámetros. En la práctica, ρ estimado para el S&P 500 es aproximadamente -0.3 a -0.5, confirmando el efecto leverage.
📏 Propiedades de SV
SV genera colas más pesadas que GARCH y puede producir series con mayor curtosis para los mismos parámetros. Intuición: La mezcla de dos normales (una para εₜ y otra para ηₜ) genera distribuciones con colas inherentemente más pesadas. La curtosis incondicional de SV es: K = 3 × exp(ση²/(1-φ²)). Incluso con φ = 0.95 y ση = 0.2, K ≈ 3.5. Con ση = 0.4, K ≈ 5. Esto significa que SV puede generar colas pesadas "naturalmente" sin necesidad de distribuciones t-Student en los errores. Además, la función de autocorrelación de los retornos al cuadrado decae exponencialmente con la misma tasa que la autocorrelación de hₜ, dando memoria larga si φ es cercano a 1.
📈 Aplicaciones de SV
SV es popular en valoración de opciones (modelo Heston), riesgo de mercado, y modelado de criptomonedas. Intuición: El modelo Heston (1993) es un SV en tiempo continuo usado para valorar opciones. A diferencia de Black-Scholes (que asume volatilidad constante), Heston permite que la volatilidad varíe estocásticamente, lo que produce smiles de volatilidad (sonrisas) que se observan en los mercados de opciones. Para criptomonedas como Bitcoin, SV es particularmente útil porque la volatilidad de estos activos muestra cambios de régimen abruptos que los modelos GARCH (deterministas) no capturan bien. Por ejemplo, el halving de Bitcoin (2024) generó un aumento de volatilidad que SV puede capturar como un shock ηₜ en la volatilidad latente.
Controla la persistencia φ de la volatilidad y compara SV con GARCH.
Generamos 5 días de un proceso SV(1) con μ = -1, φ = 0.97, ση = 0.2.
h₁ = μ = -1 (valor inicial en la media). La volatilidad inicial es exp(h₁/2) = exp(-0.5) = 0.6065 ≈ 60.7% (anualizada; diaria sería ~3.8%).
ε₁ = 0.5 (shock normal estándar). y₁ = exp(h₁/2) × ε₁ = 0.6065 × 0.5 = 0.303. Retorno del día 1: +30.3% (en términos anuales). Ahora generamos h₂: h₂ = -1 + 0.97(-1 - (-1)) + 0.2 × η₁. Con η₁ = -0.3: h₂ = -1 + 0 + (-0.06) = -1.06.
Día 2: h₂ = -1.06, σ₂ = exp(-0.53) = 0.588. ε₂ = -0.8. y₂ = 0.588 × (-0.8) = -0.470 (-47%). η₂ = 0.5. h₃ = -1 + 0.97(-1.06 - (-1)) + 0.2 × 0.5 = -1 + (-0.0582) + 0.1 = -0.958. Día 3: σ₃ = exp(-0.479) = 0.619. Así sucesivamente. Observa que la volatilidad fluctúa suavemente (φ = 0.97), pero cada día tiene un shock ηₜ que la desvía de su camino determinista.
En GARCH, la volatilidad del día 2 dependería solo de ε₂² y σ²₂. En SV, h₂ depende de η₁ (un shock independiente) y de φ (persistencia). Esto significa que SV puede generar cambios de volatilidad sin que haya habido un shock grande en retornos, lo que es más realista: a veces la volatilidad sube "porque sí", sin una noticia aparente.