📐 IC para la Media (σ conocido)
IC = x̄ ± zα/2 · σ/√n. Usa la distribución normal. Requiere conocer σ o n ≥ 30. Ejemplo: si x̄=70, σ=10, n=25, el IC al 95% es 70 ± 1.96·10/5 = (66.08, 73.92).
📐 IC para la Media (σ desconocido)
IC = x̄ ± tα/2, n-1 · s/√n. Usa la distribución t de Student con n-1 grados de libertad. Es el caso más común en la práctica. El intervalo es más ancho que con σ conocido.
📊 IC para una Proporción
IC = p̂ ± zα/2 · √(p̂(1-p̂)/n). Válido si np̂ ≥ 10 y n(1-p̂) ≥ 10. Método de Wilson: más preciso para n pequeñas. Ejemplo: 60/100 encuestados, IC 95% = 0.6 ± 0.096.
📊 IC para la Varianza
IC = ((n-1)s²/χ²α/2, (n-1)s²/χ²1-α/2). Usa la distribución chi-cuadrado con n-1 gl. Es asimétrico. Útil para control de calidad y análisis de precisión.
Problema: Se toma una muestra de 25 estudiantes. La calificacion media es 78 y la desviacion muestral es 12. Construye un IC al 95% para la media poblacional.
x_bar=78, s=12, n=25, gl=24. t(0.025,24)=2.064.
EE = s/raiz(n) = 12/5 = 2.4.
Margen = t*EE = 2.064*2.4 = 4.95.
IC = 78 +/- 4.95 = [73.05, 82.95].
Tenemos 95% de confianza en que la media poblacional esta entre 73.05 y 82.95.
Intuicion
Los intervalos de confianza reconocen que una estimacion puntual rara vez es exacta. En lugar de decir 'la media es 5', decimos 'la media esta entre 4.2 y 5.8 con 95% de confianza'.
Formula clave: IC para la media
IC = x_bar +/- t(alpha/2, n-1) * s/raiz(n). Donde t es el valor critico de la distribucion t con n-1 grados de libertad.
Paso a paso: Construir IC
1) Calcula x_bar y s. 2) Determina nivel de confianza (ej. 95% -> alpha=0.05). 3) Encuentra t critico. 4) Calcula margen de error = t*s/raiz(n). 5) IC = x_bar +/- margen.
Error comun: Interpretacion incorrecta
Un IC al 95% NO significa que hay 95% de probabilidad de que el parametro este en el intervalo. Significa que 95% de los intervalos construidos asi contendran al parametro.
Ejemplo concreto
20 estudiantes: media 75, s=10. IC 95%: t(0.025,19)=2.093. IC=75 +/- 2.093*10/raiz(20)=75+/-4.68=[70.32, 79.68].
Conexion
Los IC estan estrechamente relacionados con pruebas de hipotesis (Modulo 5).