📈 GARCH y Volatilidad

📐 ARCH(q) — Heterocedasticidad Condicional

ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) modela la varianza condicional como función de errores cuadráticos pasados: σ²ₜ = α₀ + α₁ε²ₜ₋₁ + ... + αₙε²ₜ₋q. La varianza de hoy depende de qué tan grandes fueron los errores ayer.

Intuición: Si hoy hubo una sorpresa grande (buena o mala), la incertidumbre (varianza) para mañana aumenta. Es como decir: "me equivoqué feo ayer, así que hoy soy menos seguro de mi predicción".

Ejemplo real: Un anuncio del IPC sorprende al mercado: el error de predicción de ayer fue enorme. ARCH(1) captura que la varianza de hoy será alta por ese shock.

Peligro común: ARCH(q) necesita muchos rezagos (q grande) para capturar la persistencia de la volatilidad. Por eso se prefiere GARCH, que usa menos parámetros.

⚙️ GARCH(1,1) — El modelo estrella

GARCH(1,1) añade la varianza pasada como predictor: σ²ₜ = α₀ + α₁ε²ₜ₋₁ + β₁σ²ₜ₋₁. El coeficiente α₁ mide el impacto de shocks recientes, mientras β₁ mide la persistencia de la volatilidad.

Intuición: α₁ es qué tanto reacciona la volatilidad a una noticia de último minuto. β₁ es la "memoria" de la volatilidad: qué tan lento se disipa. La suma α₁+β₁ controla la persistencia total.

Ejemplo real: Para el S&P 500, α₁ ≈ 0.10 y β₁ ≈ 0.85. La persistencia α₁+β₁ = 0.95, lo que significa que los shocks de volatilidad tardan semanas en disiparse.

Peligro común: Si α₁+β₁ > 1, la volatilidad explota (no estacionaria). Si α₁+β₁ = 1, es IGARCH (varianza infinita). Siempre verifica esta condición después de estimar.

📊 Leverage Effect (EGARCH, GJR-GARCH)

El leverage effect describe que las malas noticias (shocks negativos) aumentan más la volatilidad que las buenas noticias (shocks positivos) del mismo tamaño. Es una asimetría fundamental en mercados financieros.

Intuición: Cuando el mercado cae, el apalancamiento de las empresas aumenta (la deuda pesa más), lo que incrementa el riesgo percibido y la volatilidad. EGARCH modela esto permitiendo que el signo del shock importe.

Ejemplo real: Una caída del 2% en el índice aumenta la volatilidad estimada más que una subida del 2%. EGARCH(1,1) captura esto con un término γ que mide la asimetría.

Peligro común: EGARCH puede ser inestable numéricamente porque modela log(σ²). GJR-GARCH es una alternativa más estable y fácil de interpretar.

📋 Stylized Facts de Volatilidad

Los datos financieros muestran patrones sistemáticos que cualquier modelo de volatilidad debe capturar:

1. Volatility Clustering: Períodos de alta volatilidad tienden a agruparse (crisis financieras). 2. Fat Tails (Leptokurtosis): Los rendimientos tienen más observaciones extremas que una distribución normal. 3. Leverage Effect: Asimetría entre shocks positivos y negativos.

4. Correlaciones Asimétricas: En mercados bajistas, las correlaciones entre activos aumentan (diversificación disminuye). 5. Colas Pesadas: La distribución de rendimientos tiene colas más gruesas que la normal.

Ejemplo: Durante la crisis de 2008, la volatilidad del S&P 500 se multiplicó por 5 y se mantuvo alta por meses (clustering). Las pérdidas extremas fueron mucho más frecuentes de lo que predice una distribución normal (fat tails).

Peligro común: Usar modelos que asumen normalidad de errores subestima el riesgo extremo (VaR). Siempre usa distribuciones t-Student o GED para errores en GARCH.