π Especificación VAR(p)
Un VAR(p) es un sistema de ecuaciones donde cada variable se explica por sus propios rezagos y los rezagos de las otras variables. Formalmente: yβ = c + Aβyβββ + Aβyβββ + ... + Aβyβββ + Ξ΅β, donde yβ es un vector de variables endógenas.
Intuición: Si tienes 2 variables (PIB, inflación), el VAR(1) tendrá 2 ecuaciones: PIBβ = cβ + aββΒ·PIBβββ + aββΒ·Inflβββ + Ξ΅ββ, e Inflβ = cβ + aββΒ·PIBβββ + aββΒ·Inflβββ + Ξ΅ββ. Cada ecuación tiene los mismos regresores.
Ejemplo real: Un VAR(2) con PIB, inflación y tasa de interés es el modelo estándar para análisis de política monetaria (modelo de 3 variables de Sims, 1980).
Peligro común: Demasiadas variables o rezagos explotan los grados de libertad. Para n variables y p rezagos, estimas n + nΒ²p parámetros. Con n=5 y p=4, son 105 parámetros. ¡Usa BIC para mantener parsimonia!
π Estimación Ecuación por Ecuación
En un VAR estándar, cada ecuación se estima por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) individualmente. Aunque los errores pueden estar correlacionados contemporáneamente entre ecuaciones, la estimación MCO es consistente y eficiente porque todas las ecuaciones tienen los mismos regresores.
Intuición: Como cada ecuación usa exactamente las mismas variables independientes (los rezagos de todas las variables del sistema), el estimador MCO ecuación-por-ecuación es equivalente al estimador SUR (Sistemas de Ecuaciones Aparentemente No Relacionadas).
Ejemplo: Para estimar un VAR(2) con 3 variables, corres 3 regresiones MCO separadas, cada una con 1 + 3*2 = 7 coeficientes. Los residuos de cada ecuación se usan para estimar la matriz de covarianza Σ.
Peligro común: Si alguna variable del sistema es no estacionaria y no está cointegrada, las inferencias (tests t, F) son inválidas. Siempre verifica estacionariedad antes de estimar VAR en niveles.
π Selección de Rezagos
Elegir el número correcto de rezagos (p) es crítico. Muy pocos rezagos sesgan los coeficientes (omisión de variables). Demasiados rezagos reducen la eficiencia (más parámetros que estimar).
AIC (Akaike): AIC = -2Β·ln(L) + 2Β·k. Penaliza cada parámetro adicional con 2. Tiende a seleccionar más rezagos (sobreajuste). BIC (Bayesian): BIC = -2Β·ln(L) + kΒ·ln(T). Penaliza más fuerte (ln(T) > 2). Prefiere modelos más parsimoniosos.
Regla práctica: Para datos mensuales, prueba p=1 hasta p=12. Para trimestrales, p=1 hasta p=4. Elige el p que minimice AIC o BIC. Si difieren, prefiere BIC (más conservador).
Peligro común: El criterio de selección automática puede elegir p que no deje residuos ruido blanco. Siempre verifica autocorrelación residual con el test de Portmanteau o LM.
π― Granger Causality
El test de causalidad de Granger (1969) pregunta: ¿los valores pasados de X ayudan a predecir Y, más allá de lo que ya predicen los valores pasados de Y? Hβ: X no causa Granger a Y.
Intuición: No es "causalidad" en el sentido filosófico. Es "precedencia temporal": si X sucede antes que Y y ayuda a predecirlo, decimos que X "causa Granger" a Y. La dirección puede ser bidireccional (feedback).
Ejemplo real: La M2 (oferta monetaria) causa Granger al PIB en muchos países. La inflación causa Granger a la tasa de interés (el banco central reacciona a la inflación).
Peligro común: Granger no prueba causalidad verdadera. Puede haber una tercera variable Z que cause tanto a X como a Y (causalidad espuria). También es sensible al número de rezagos.
β‘ IRF (Impulse Response Function)
La IRF traza la respuesta de cada variable del sistema ante un shock de una desviación estándar en una variable específica, a través del tiempo. Muestra la "huella" dinámica del shock.
Intuición: Si el banco central sube la tasa de interés (shock), ¿cómo responde el PIB? La IRF muestra que el PIB baja gradualmente, alcanza un mínimo a los 4-8 trimestres, y luego regresa. Las bandas de confianza (bootstrap) indican si la respuesta es significativa.
Peligro común: La IRF depende del orden de las variables (problema de identificación). El módulo de SVAR aborda esto. Sin identificación, las IRF no tienen interpretación causal válida.
π FEVD (Forecast Error Variance Decomposition)
FEVD responde: ¿qué proporción de la varianza del error de pronóstico de cada variable se debe a shocks en cada variable del sistema? A largo plazo, los shocks propios generalmente dominan.
Intuición: Después de 12 meses, ¿el 60% de los errores de pronóstico del PIB se deben a shocks del propio PIB, el 30% a shocks de política monetaria y el 10% a shocks externos? Eso te dice la FEVD.
Peligro común: FEVD también depende del orden de las variables. Cambia el orden y los porcentajes cambian. La identificación estructural (SVAR) resuelve esto.
Genera datos de un VAR(1) con dos variables. Ajusta los coeficientes cruzados para ver cómo cambian la dinámica.
VAR(1) para PIB (yβ) e Inflación (yβ): yββ = 0.7Β·yββββ + 0.3Β·yββββ + Ξ΅β, yββ = 0.5Β·yββββ + 0.6Β·yββββ + Ξ΅β. Nota que cada variable depende de su propio rezago (0.7, 0.6) y del rezago de la otra (0.3, 0.5).
En t=0: yββ=yββ=0. Ξ΅ββ=0.5, Ξ΅ββ=-0.2. Entonces: yββ = 0.7(0)+0.3(0)+0.5 = 0.5. yββ = 0.5(0)+0.6(0)+(-0.2) = -0.2. En t=2: yββ = 0.7(0.5)+0.3(-0.2)+(-0.1) = 0.35-0.06-0.1 = 0.19.
aββ=0.3 significa que inflación pasada afecta positivamente al PIB actual (quizás por demanda agregada). aββ=0.5 significa que el PIB pasado afecta fuertemente a la inflación actual (curva de Phillips). ¡El sistema tiene feedback bidireccional!
Si shockeamos yβ en +1 en t=0: en t=1, yβ responde 1 (el shock), yβ responde 0.5 (aββΓ1). En t=2: yβ = 0.7Γ1 + 0.3Γ0.5 = 0.85, yβ = 0.5Γ1 + 0.6Γ0.5 = 0.80. El shock se propaga y eventualmente se disipa si el VAR es estable (autovalores de Aβ dentro del círculo unitario).