🎯 Media Prior y su justificación
El prior de Minnesota (Litterman, 1986) asume que cada serie sigue un random walk: y_{it} = y_{i,t-1} + u_{it}. Esto implica que el coeficiente del primer rezago propio tiene media 1 y todos los demás coeficientes (incluyendo rezagos de otras variables) tienen media 0. ¿Por qué random walk? Porque muchas series macro (PIB, precios) son altamente persistentes.
Ejemplo concreto: Para un BVAR(4) con 3 variables, el prior dice que GDP_t depende principalmente de GDP_{t-1} (coef ~1), y muy poco de GDP_{t-2}, GDP_{t-3}, INF_{t-1}, IR_{t-1}, etc. (coefs ~0).
🔧 Hiperparámetros: λ_1, λ_2, λ_3
La varianza del coeficiente A_l^{ij} (efecto de la variable j en la ecuación i en el rezago l) se parametriza como: Var(A_l^{ij}) = (λ_1 / l^λ_2)^2 * (σ_i/σ_j)^2. λ_1 controla la tightness global (<1 = prior fuerte, >1 = débil). λ_2 controla cuánto se encogen los rezagos más lejanos. λ_3 es la varianza del intercepto (prior difuso si λ_3 grande).
Pitfall: Elegir λ_1 demasiado pequeño (ej. 0.01) hace que los datos casi no importen. Demasiado grande (ej. 10) elimina el beneficio del prior.
📊 Conjugate Normal-Wishart
Cuando usamos un prior Normal para los coeficientes B (dado Σ) y un prior Inverse Wishart para Σ, la posterior es analítica: Normal para B|Σ,Y y Inverse Wishart para Σ|Y. Esto significa que no necesitamos MCMC — todo se calcula directamente. La media posterior es un promedio ponderado entre el prior y los datos, donde el peso depende de λ_1.
Ventaja: La estimación de un BVAR con 20 variables y 4 rezagos (160 parámetros) toma segundos gracias a la conjugación.
📏 Marginal Likelihood y selección de modelos
La verosimilitud marginal p(Y) = ∫ p(Y|θ)p(θ)dθ es la probabilidad de los datos promediando sobre todos los parámetros. Con priors conjugados, tiene forma cerrada. Se usa para: (1) seleccionar el número de rezagos p, (2) elegir entre diferentes especificaciones de prior, (3) comparar BVAR vs VAR clásico. Mayor log-marginal-likelihood = mejor modelo.
Ejemplo real: El Banco Central de Chile usa BVAR con marginal likelihood para elegir entre modelos con 2, 3 o 4 rezagos en su sistema de proyección de inflación.
Ejemplo paso a paso: BVAR con tightness λ_1 = 0.2
Para un VAR(2) con 2 variables (GDP, INF), el prior tiene 2×2×2 = 8 coeficientes de rezago más 2 interceptos. El prior dice: GDP_{t-1}→GDP_t tiene media 1, GDP_{t-2}→GDP_t tiene media 0, INF_{t-1}→GDP_t tiene media 0, etc. Con λ_1=0.2, las varianzas son pequeñas: por ejemplo, Var(GDP_{t-1}→GDP_t) = (0.2/1)^2 * (σ_GDP/σ_GDP)^2 = 0.04.
La media posterior B_bar = (Ω_0 + X'X)^{-1} * (Ω_0 B_0 + X'Y), donde Ω_0 es la precisión del prior y X'X la precisión de los datos. Con λ_1=0.2, Ω_0 es grande (prior fuerte), así que la posterior se acerca más al prior. Con λ_1=0.5, los datos pesan más.
Con la media posterior de los coeficientes, calculamos las IRFs. Las IRFs del BVAR con λ_1 pequeño están "encogidas" hacia cero: los efectos de los shocks son más pequeños y menos volátiles que en un VAR clásico. Esto es bueno para pronóstico pero puede subestimar efectos reales.
En la simulación de abajo, ajusta la tightness y observa dos cosas: (1) las IRFs del BVAR vs VAR clásico, y (2) la distribución posterior del coeficiente AR(1). Cuando la tightness es baja (0.1), los puntos verdes (posterior) están muy concentrados cerca del prior. Cuando es alta (0.5), se dispersan más.
Controla la tightness λ_1 y compara las IRFs del BVAR vs VAR clásico. Observa la distribución posterior de los coeficientes.