📐 Ecuación de Observación
La ecuación de observación es y_t = Z_t α_t + d_t + ε_t. Relaciona los datos observados (y_t) con el estado no observado (α_t). La matriz Z_t se llama matriz de diseño. ε_t ~ N(0, H_t) es el error de medición. En un modelo de tendencia-ciclo, y_t = PIB_t, Z_t = [1, 1], α_t = [T_t, C_t]' (tendencia y ciclo).
Intuición: Los datos que vemos (PIB) son una combinación de componentes que no observamos directamente (tendencia de largo plazo + ciclo de corto plazo) más un error de medición.
⚙️ Ecuación de Transición
α_{t+1} = T_t α_t + c_t + R_t η_t. Describe cómo evoluciona el estado latente en el tiempo. T_t es la matriz de transición (contiene los parámetros AR del ciclo, por ejemplo). η_t ~ N(0, Q_t) es el error del estado. En el modelo UC: T_t = [[1, 0], [0, φ_1]] si la tendencia es random walk y el ciclo es AR(1).
Ejemplo real: El Banco Central usa modelos UC para estimar el PIB potencial en tiempo real. La tendencia (potencial) solo cambia por shocks de oferta, mientras que el ciclo captura fluctuaciones de demanda.
🔧 UC Model (PIB = Tendencia + Ciclo)
El modelo UC (Unobserved Components) descompone el PIB en: PIB_t = T_t + C_t. La tendencia T_t sigue un random walk con deriva: T_t = T_{t-1} + μ_{t-1} + η_t (donde μ es la tasa de crecimiento potencial). El ciclo C_t sigue un AR(2): C_t = φ_1 C_{t-1} + φ_2 C_{t-2} + ε_t. La brecha de PIB es precisamente C_t — la desviación del PIB observado respecto a su tendencia.
Pitfall: Si el ciclo es muy persistente (φ_1 + φ_2 ≈ 1), la separación entre tendencia y ciclo se vuelve difícil — cualquier shock puede interpretarse como permanente o transitorio.
📊 HP Filter como caso especial de Kalman
El filtro Hodrick-Prescott con λ=1600 (para datos trimestrales) es equivalente a un Kalman smoother donde la tendencia tiene varianza σ_η^2 y el ciclo tiene varianza σ_ε^2 con λ = σ_ε^2 / σ_η^2. La ventaja del Kalman sobre HP es: (1) maneja datos faltantes, (2) se actualiza en tiempo real (HP es bilateral, revisa toda la serie), (3) produce intervalos de confianza para la brecha.
Analogía: HP es como una foto de toda la serie pasada. Kalman es como un video en vivo que se actualiza con cada nuevo dato. ¡Para política monetaria, el video es mucho más útil!
Ejemplo paso a paso: Descomponer PIB simulando 60 trimestres
Simulamos 60 trimestres (15 años) de PIB. La tendencia crece 0.5% por trimestre (~2% anual) con un componente aleatorio. El ciclo oscila alrededor de la tendencia con persistencia AR(1) de 0.7. El PIB observado es la suma de ambos.
HP(λ=1600) estima la tendencia minimizando la suma de (desviaciones^2 + λ*(aceleración)^2). Con λ=1600, la tendencia es bastante suave. El ciclo HP = PIB - tendencia HP. Las primeras y últimas observaciones tienen el "end-point problem": la estimación es peor en los bordes de la muestra.
Kalman filter procesa los datos secuencialmente: para cada t, predice el estado (α_{t|t-1}), actualiza con la nueva observación (α_{t|t}), y calcula la ganancia K_t. La ganancia de Kalman determina cuánto peso darle al nuevo dato vs la predicción. Si la señal es ruidosa (H grande), K es pequeña.
La simulación de abajo muestra que HP y Kalman dan estimaciones similares de la brecha en el centro de la muestra, pero Kalman es superior en los extremos y se actualiza en tiempo real. La última estimación de la brecha por Kalman es la más relevante para política.
Compara la descomposición HP (λ=1600) con el filtro de Kalman. Observa cómo la estimación de la brecha cambia en tiempo real.