🏠 Hogares: Maximización intertemporal
Los hogares maximizan la utilidad esperada descontada: E_0 Σ β^t U(C_t, N_t) donde U(C,N) = log(C) - θ N^(1+φ)/(1+φ). β es el factor de descuento, θ mide la desutilidad del trabajo, y φ es la inversa de la elasticidad de la oferta laboral. La restricción presupuestaria: C_t + I_t = w_t N_t + r_t K_t + π_t.
Intuición: Los hogares deciden cuánto trabajar hoy vs ahorrar para mañana. Si hay un shock positivo de productividad, el salario sube y vale la pena trabajar más.
🏭 Empresas: Producción Cobb-Douglas
La empresa representativa produce con la tecnología: Y_t = A_t K_t^α N_t^(1-α). A_t es la productividad total de los factores (TFP), α es la participación del capital en el ingreso (~0.33). K_t se acumula: K_{t+1} = (1-δ)K_t + I_t donde δ es la tasa de depreciación (~0.025 trimestral, ~10% anual).
Ejemplo real: Si A_t sube 1% (innovación tecnológica), la producción Y_t aumenta más de 1% porque también aumentan N_t e I_t endógenamente.
📐 Log-linealización: De no lineal a lineal
Las ecuaciones del RBC no son lineales (producto de variables, logaritmos). Para resolverlas, las aproximamos alrededor del estado estacionario usando expansión de Taylor de primer orden. Cada variable X_t se expresa como desviación logarítmica de su estado estacionario: x̂_t ≈ log(X_t / X*). Esto convierte el sistema en un conjunto de ecuaciones lineales en diferencias.
Ejemplo: La ley de movimiento del capital K_{t+1} = (1-δ)K_t + I_t se log-linealiza como: k̂_{t+1} = (1-δ) k̂_t + δ î_t, donde î_t = (I_t - I*)/I*.
🔧 Blanchard-Kahn: Solución única estable
Después de log-linealizar, tenemos un sistema de la forma: E_t [x_{t+1}, y_{t+1}]' = A [x_t, y_t]' + B ε_t. Las variables se dividen en: predeterminadas (x_t, como capital — no saltan) y de salto (y_t, como consumo — saltan inmediatamente ante noticias). La condición de Blanchard-Kahn: el número de valores propios de A fuera del círculo unitario debe igualar el número de variables de salto. Si hay más valores fuera que variables de salto = explosividad; si hay menos = indeterminación.
Pitfall: Si eliges mal la calibración (ej. β > 1), el sistema puede volverse explosivo. Siempre verifica que los valores propios cumplan Blanchard-Kahn antes de simular IRFs.
Ejemplo paso a paso: RBC con un shock TFP del 1%
Primero calculamos el estado estacionario (donde todas las variables son constantes). Con α=0.33, δ=0.025, β=0.99, obtenemos: K*/Y* = α/(1/β - 1 + δ) ≈ 10, I*/Y* = δ K*/Y* ≈ 0.25, C*/Y* = 1 - I*/Y* ≈ 0.75. La tasa de interés real de estado estacionario es r* = 1/β - 1 ≈ 0.01 (1% trimestral).
Aplicamos Taylor alrededor del estado estacionario. Por ejemplo: ŷ_t = â_t + α k̂_t + (1-α) n̂_t. La ecuación de Euler para consumo: ĉ_t = E_t ĉ_{t+1} - (r̂_t - E_t π_{t+1}). La oferta laboral: n̂_t = (1/φ) (ŵ_t - ĉ_t). El sistema resultante tiene 4 ecuaciones dinámicas más la ley de movimiento del shock TFP: â_t = ρ â_{t-1} + ε_t.
Escribimos el sistema en forma matricial. Identificamos variables predeterminadas (k_t, a_t) y de salto (c_t, n_t). Calculamos los valores propios de la matriz de coeficientes. Verificamos que 2 valores estén fuera del círculo unitario (igual al número de variables de salto). La solución nos da las reglas de decisión: ĉ_t = η_ck k̂_t + η_ca â_t, n̂_t = η_nk k̂_t + η_na â_t.
Con las reglas de decisión, simulamos la respuesta a un shock TFP de 1%. La producción sube inmediatamente (~1.2%), el consumo sube menos (~0.7%), la inversión sube mucho (~2.0%) porque las empresas quieren acumular capital para aprovechar la mayor productividad, y el empleo sube (~0.4%) porque los salarios son más altos. Todos retornan al estado estacionario gradualmente.
Ajusta los parámetros y observa cómo cambian las respuestas dinámicas de Y, C, I, N a un shock de productividad.