🔬 Del Modelo a la Estimación: Espacio de Estados
El modelo DSGE log-linealizado se escribe en forma de espacio de estados. La ecuación de transición describe la dinámica de las variables de estado (brecha, inflación, tasa). La ecuación de observación relaciona estas variables con los datos observados (PIB, IPC, tasa de política). El filtro de Kalman itera hacia adelante: predice el estado en t+1 y lo actualiza cuando llega la observación, produciendo la verosimilitud como subproducto.
📊 Priors: El Punto de Partida
Los parámetros estructurales tienen distribuciones iniciales (priors) basadas en la teoría económica. Por ejemplo: β ~ Beta(0.99, 0.01) (tasa de descuento cercana a 1), κ ~ Gamma(0.2, 0.1) (pendiente de NKPC), σ ~ InvGamma(1, 0.5) (EIS). Los priors son informativos: estabilizan la estimación cuando los datos tienen poca información sobre un parámetro. La elección de la distribución importa: Beta para [0,1], Gamma para positivos, InvGamma para varianzas.
🔄 Metropolis-Hastings: MCMC
La posterior p(θ|Y) no tiene forma analítica cerrada. Usamos MCMC con Metropolis-Hastings (MH): proponemos un nuevo θ' desde una distribución candidata, calculamos la razón de aceptación r = p(θ'|Y)/p(θ|Y), aceptamos con probabilidad min(r,1). La cadena converge a la distribución posterior. Se descartan las primeras N iteraciones (burn-in) y se verifica la convergencia con el estadístico de Geweke o el factor de escala.
📐 Verosimilitud Marginal y Comparación de Modelos
La verosimilitud marginal p(Y) = ∫ p(Y|θ) p(θ) dθ es la probabilidad de los datos integrando sobre todos los parámetros. El factor de Bayes entre el modelo A y el B es p_A(Y)/p_B(Y). Si es > 1, los datos favorecen el modelo A. En la práctica, se usa el log-verosimilitud marginal (LVM) y se comparan diferencias (> 2-3 es evidencia positiva según Jeffreys). Esta es la herramienta clave para comparar especificaciones alternativas (ej: φ_π libre vs restringido).
Ejemplo paso a paso: Estimación de parámetros NK con datos sintéticos
Definimos: β ~ Beta(0.99, 0.01) — la tasa de descuento es muy cercana a 1. κ ~ Gamma(0.3, 0.15) — la pendiente de la NKPC es pequeña pero positiva. σ ~ InvGamma(1, 0.5) — elasticidad de sustitución intertemporal. φ_π ~ Normal(1.5, 0.3) — principio de Taylor. ρ ~ Beta(0.7, 0.1) — suavizamiento de tasa.
Usamos datos simulados de inflación (100 obs, media 2%, desv 0.5%) y brecha del producto (media 0%, desv 0.8%). El filtro de Kalman produce la verosimilitud p(Y|θ) para cada conjunto de parámetros. Iteramos sobre los 100 periodos: predicción, actualización, acumulación de log-likelihood.
Corremos MH con 10,000 iteraciones (2,000 de burn-in). La tasa de aceptación ideal es ~25-30%. Calculamos la media posterior y los intervalos de credibilidad al 90% (percentiles 5% y 95%). Por ejemplo: κ posterior = 0.28 [0.15, 0.42], φ_π posterior = 1.6 [1.2, 2.0].
Comparamos dos modelos: M1 (Taylor completo: φ_π y φ_y libres) y M2 (φ_y = 0, solo inflación). Calculamos log-p(Y) para cada uno. Si la diferencia es > 5, los datos favorecen fuertemente M1. Esto sugiere que responder a la brecha mejora el ajuste del modelo a los datos.
Observa cómo evoluciona la cadena MCMC para φ_π y κ. Ajusta la cantidad de iteraciones y el factor de escala.