📊 Modelos de Factores Dinámicos (DFM)

Extraer señales comunes de cientos de series macro con PCA dinámico

PCA Factor dinámico Bai-Ng
Módulo 9 de 12
💡 Piénsalo así: Tener 200 series macroeconómicas es como tener 200 termómetros en una ciudad. El DFM es como calcular la temperatura "promedio" de la ciudad (factor común) y luego ver cuánto se desvía cada termómetro de ese promedio (componente idiosincrático). El PCA encuentra la combinación lineal que más varianza explica.

🎯 ¿Qué aprenderás en este módulo?

  • Entender el modelo de factores dinámicos: X_t = Λ F_t + e_t con F_t ~ AR(p).
  • Usar PCA para estimar los factores comunes de un conjunto grande de series (N > 50).
  • Aplicar los criterios de Bai-Ng (IC_p1, IC_p2, IC_p3) para determinar el número de factores.
  • Interpretar las cargas factoriales (Λ) para entender qué series cargan en cada factor.
  • Usar DFM para análisis de ciclos económicos y nowcasting.
    • Modelo de Factores Dinámicos

    🏗️ Estructura del DFM

    X_{it} = λ_i' F_t + e_{it}. Cada serie X_{it} se descompone en una parte común (λ_i' F_t) y un componente idiosincrático e_{it}. F_t es un vector de r factores comunes que capturan la co-movimiento entre las series. λ_i son las cargas factoriales (pesos). Los factores típicamente siguen un VAR(1) o AR(1): F_t = A F_{t-1} + u_t. El número de factores r se elige mediante criterios de información.

    X_t = Λ F_t + e_t  |  F_t = A F_{t-1} + u_t

    🧮 PCA: Estimación de Factores

    Cuando N es grande (>50), se estima F_t por Análisis de Componentes Principales (PCA). PCA encuentra las combinaciones lineales de X que maximizan la varianza explicada. El primer componente principal es la combinación con mayor varianza; el segundo es ortogonal al primero con la siguiente mayor varianza, etc. Los factores estimados F̂_t son los primeros r componentes principales. La consistencia requiere N,T → ∞.

    F̂_t = Λ̂' X_t  |  Λ̂ = vectores propios de S_X

    🔢 Criterios de Bai-Ng (2002)

    Bai y Ng desarrollaron 3 criterios de información para determinar r: IC_p1, IC_p2, IC_p3. Se basan en la varianza residual vs número de factores, penalizando por N y T. La idea: agregar un factor siempre reduce la suma de cuadrados residuales, pero el penalización evita sobreajuste. En la práctica, IC_p1 suele elegir entre 1-3 factores para datos macro de EE.UU.

    IC(r) = log V(r, F̂) + r · g(N,T)  |  V(r) = (NT)^{-1} Σ_{it} ê_{it}^2

    🌊 Factores vs Ciclo Económico

    El factor común F_t se interpreta como el "ciclo económico" o "actividad agregada". Las cargas factoriales λ_i indican qué tan sensible es cada serie al ciclo. Por ejemplo: empleo manufacturero puede tener carga 0.8 en el factor (muy cíclico), mientras que gasto en salud pública puede tener carga 0.1 (acíclico). Las series con cargas similares se agrupan en clusters económicos.

    R_i^2 = var(λ_i'F_t) / var(X_{it}) → comunalidad

    Ejemplo paso a paso: Estimación DFM con 50 series macro

    Paso 1: Estandarizar los datos

    Tomamos 50 series trimestrales de EE.UU. (PIB, empleo, industrial production, ventas, etc.) desde 1980 hasta 2020. Estandarizamos cada serie a media 0 y varianza 1 para que todas tengan el mismo peso en PCA. Esto es crucial porque las escalas son muy diferentes (PIB en billones vs tasa de desempleo en %).

    Paso 2: Elegir r con Bai-Ng

    Calculamos PCA para r = 1,...,10 y evaluamos IC_p1. Resultado: IC_p1 se minimiza en r = 2. Los primeros 2 factores explican el 45% de la varianza total. El tercer factor solo agrega 4% adicional. Decidimos usar r=2.

    Paso 3: Interpretar los factores

    Factor 1: cargas altas positivas en PIB, empleo, y consumo (>0.7) — es el "factor de actividad real". Factor 2: cargas altas en precios, salarios y T-bills — es el "factor nominal/inflación". La correlación entre factores es aproximadamente 0 (son ortogonales por construcción de PCA).

    Paso 4: Usar los factores en regresiones

    Ahora podemos usar F̂_t como variables explicativas en una regresión, por ejemplo: π_t = α + β1 F1_t + β2 F2_t + ε_t. Como los factores resumen la información de 50 series, evitamos el problema de sobreparametrización. Además, el DFM filtra el ruido idiosincrático de cada serie.

    Simulación: PCA y Varianza Explicada

    Define la correlación entre las series y el número de factores subyacentes. Observa la proporción de varianza explicada acumulada.

    Presiona "PCA Sim" para ver la descomposición de varianza.
    Mini Quiz: Modelos de Factores Dinámicos
    💡 Los DFM extraen información común de grandes conjuntos de datos macro.

    Resumen del módulo

  • DFM descompone series X_{it} en factor común (ΛF_t) y componente idiosincrático (e_{it}).
  • PCA estima los factores como combinaciones lineales que maximizan varianza explicada.
  • Los criterios de Bai-Ng (IC_p1, IC_p2, IC_p3) determinan el número óptimo de factores.
  • Los factores se interpretan como ciclos económicos (actividad real, inflación, etc.).
  • DFM es útil para nowcasting y regresiones con alta dimensionalidad (N grande).
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